vectores

Vectores geométricos

Vectores equivalentes

Vectores paralelos

Suma

Resta

Vectores de posición

Ejemplo 1
• Observe:

DEFINICIÓN.1

Suma, Producto por un Escalar, Igualdad

Sea a = , b = vectores en R2
(i) Suma: a + b =
(1)
(ii) Producto por un escalar: ka = ,
k es un escalar
(2)
(iii)Igualdad: a = b si y sólo si a1 = b1, a2 = b2 (3)
a – b =

P P2  OP2 OP   x2  x1 , y2  y1 
1
1

(4)

Solución Gráfica
• Ilustra las soluciones gráficas de suma y resta
de dos vectores.

Ejemplo 2
Si a = , b = , hallar a + b, a − b, 2a +
3b.
Solución
Usando (1), (2), (4), tenemos
a  b   1  (6), 4  3  5, 7 
a  b   1  (6), 4  3  7, 1 
2a  3b   2, 8    18, 9  16, 17 

Propiedades
• (i) a + b = b + a
(ii) a +(b + c) = (a + b) + c
(iii) a + 0 = a
(iv) a + (−a) = 0
(v) k(a + b) = ka + kb
k escalar
(vi) (k1 + k2)a = k1a + k2a k1, k2 escalares
(vii) k1(k2a) = (k1k2)a
k1, k2 escalares
(viii) 1a = a
(ix) 0a = 0 =
• 0 =

Longitud, Norma
2
|| a ||  a12  a2
• a = , entonces

Naturalmente, tenemos ||a||  0, ||0|| = 0

Vectores Unitarios
• Un vector cuya norma vale 1 se denominavector unitario.
u = (1/||a||)a es un vector unitario, puesto
que
1
1
|| u || 
a 
|| a || 1
|| a ||
|| a ||

Ejemplo 3
• Dado a = , el vector unitario en la
misma dirección u es
1
1
u
a
 2,  1 
5
5

y
2 1
u   ,
5 5

2 1
,
5 5

Los vectores i, j
• Si a = , entonces
 a1, a2 

  a1, 0    0, a2   a1  1, 0   a2  0, 1  (5)

Sea i = , j = ,entonces (5) se
transforma en

a = a1i + a2j

(6)

Ejemplo 4
• (i) = 4i + 7j
(ii) (2i – 5j) + (8i + 13j) = 10i + 8j
(iii) || i  j ||  2
(iv) 10(3i – j) = 30i – 10j
(v) a = 6i + 4j, b = 9i + 6j son paralelos
y b = (3/2)a

Ejemplo 5
Sea a = 4i + 2j, b = –2i + 5j. Dibujar a + b, a – b
Solución

Vectores en 3D -Ejemplo 1
Represente los puntos (4, 5, 6) , (−2, −2, 0) y(3,-3,-1)
Solución
Fig 14

Ejemplo 2
Hallar la distancia entre (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)
Solución
d  (2  (1))  (3  (7))  (6  4)  29
2

2

2

Ecuación del Punto Medio
 x1  x2 , y1  y2 , z1  z2 


2
2 
 2

(2)

Ejemplo 2
Hallar el punto medio (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)
Solución
De (2), tenemos
 2  (1) ,  3  (7) , 6  4    1 ,  5, 5 

 

2
2 2
 2


Vectores en 3 Dimensiones
a  a1 , a2 , a3 

• Fig 16.

DEFINICIÓN 2

Definiciones en 3 Dimensiones
Sea a = , b = en R3
(i)
a + b =
(ii)
ka =
(iii)
a = b si y sólo si a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3
(iv)
–b = (−1)b =
(v)
a – b =
(vi)
0 =
2
2
(vi) || a ||  a12  a2  a3

Ejemplo 4
Hallar el vector que va de (4, 6, −2) a (1, 8, 3)
Solución
P P2  OP2 OP
1
1
  1  4, 8  6, 3  (2) 
 3, 2, 5 

Ejemplo 5
• Calcula la norma del vector unitario del vector
a(-2,3,6)
• De la Definición 2, tenemos
  2    3    6   4  9  36  1
|| a ||      
49
 7 7 7
2

2

2

Los vectores i, j, k
• i = , j = , k =
 a1 , a2 , a3 
  a1 , 0, 0    0, a2 , 0    0, 0, a3 
 a1  1, 0, 0   a2  0, 1, 0  a3  0, 0, 1 

a = < a1, a2, a3> = a1i + a2j + a3j

Ejemplo 6
a = = 7i − 5j + 13k
Ejemplo 7
(a) a = 5i + 3k está en el plano xz
(b)|| 5i  3k ||  52  32  34
Ejemplo 8
Si a = 3i − 4j + 8k, b = i − 4k, hallar 5a − 2b
Solución
5a − 2b = 13i − 20j + 48k

Producto Escalar
DEFINICIÓN 3

Producto Escalar de Dos Vectores
El producto escalar de a y b es el escalar

a．  || a|| || b || cos 
b

(1)

donde  es el ángulo que forman los vectores 0    .

Ejemplo 1
• De (1) obtenemos

i  i = 1, j  j = 1, k  k = 1

(2)

Ejemplo 2
• Si a = 10i + 2j – 6k, b = (−1/2)i + 4j – 3k,
entonces
  1   (2)(4)  (6)(3)  21
a．  (10) 
b
 2

Propiedades
• (i) a  b = 0 si y sólo si a = 0 or b = 0
(ii) a  b = b  a
(iii) a  (b + c)...