VIBRACIÓN ARMÓNICA EXCITADA

VIBRACIÓN ARMÓNICA
EXCITADA
Ingeniero militar y físico francés.
“The Theory of Simple Machines” , describe el efecto de la resistencia y la ley

de la proporcionalidad de Coulomb entre la fricción y la presión normal.
En 1784 obtuvo la solución correcta a oscilaciones pequeñas de un cuerpo.
Conocido por sus leyes de fuerzas para cargas electrostáticas y magnéticas.

Charles Augustin deCoulomb
(1706-1806)

La unidad de carga lleva su nombre.

INTRODUCCIÓN
 En un sistema mecánico existe vibraciones sólo si existe una fuente de

energía externa durante la vibración.
 Excitación de desplazamiento puede ser armónica, no armónica pero
periódica, no periódica o aleatoria.
 La respuesta es armónica si la excitación es armónica.
 La excitación no periódica puede ser de larga o cortaduración.
 La respuesta es transitoria si la excitación es no periódica y es
repentinamente aplicada.
 Se considerarán sistemas dinámicos de un grado de libertad sometidos
a excitación armónica.
 Si la frecuencia de excitación coincide con la frecuencia natural se
obtiene una respuesta muy grande.

ECUACIÓN DE
MOVIMIENTO
Segunda ley de Newton para un
sistema
de
masa-resorte
viscosamenteamortiguado, no
homogénea.
[1
]
Solución homogénea de la
ecuación homogénea, representa
la vibración libre y se reduce con
el tiempo en todas las condiciones
posibles de amortiguamiento y
todas las condiciones iniciales.
[2
]

Fig. 1 Sistema de masa-resorte
amortiguador

La solución general se reduce a la particular que representa la vibración en estado estable,
que esta presente si la función forzada estapresente.

La gráfica presenta la solución homogénea, particular y general.
 xh(t) se reduce y x(t) se transforma en xp(t) después de un tiempo

(representada por t).
 La parte que se reduce debido al amortiguamiento se llama transitoria.
 El ritmo al que se reduce el amortiguamiento depende de los factores k, c y
m

Fig. 2 Solución homogénea, particular y
general en el caso no amortiguadoRESPUESTA DE UN SISTEMA NO
AMORTIGUADO SOMETIDO A UNA
FURZA AMÓNICA
Si se tiene una fuerza F(t)=Fo cos wt, en un sistema no amortiguado, actuando
sobre una masa m, la ecuación [1] se reduce a
en la que la ecuación homogénea está dada por

[3
]

[4
]
se tiene la solución particular, en la que w es la frecuencia
de F(t) y de x p(t)

debido a que las dos son armónicas.

[5
]

en la que X representauna constante de amplitud de xp(t) y se expresa de la
siguiente manera:
[6
]

en donde
es la desviación de la masa bajo a fuerza Fo que se la conoce como
deflexión estática debido a que es una fuerza estática. La solución total de [3] es
[7
] para x(t)
Para las siguientes condiciones iniciales, se tiene la siguiente solución

[8
]

la amplitud máxima de la ecuación es
[9
]

representa la relaciónentre la amplitud de movimiento dinámica con la relación de
movimiento estática, conocida como factor de amplificación o relación de amplitud.

La variación de la relación de amplitud [9], respecto a la relación de frecuencia
mostrada en la figura por la que se pueden identificar tres tipos de respuesta.
o CASO 1:
, el denominador de
[9] es positivo y [5] da una respuesta sin
cambios. Larespuesta armónica de xp(t) está
en fase con la fuerza.
o CASO 2: , el denominador de [9] es
negativo y la solución de estado estable es
, donde X es positivo La respuesta está
desfasada 180º con la fuerza externa,
además si
. Por lo tanto para una
fuerza armónica de alta frecuencia, la
frecuencia se aproxima a cero.

Fig. 3 Factor de
amplificación de un
sistema no amortiguado

o CASO 3: , X se vuelveinfinito. A esta
condición de igualdad entre las dos
frecuencias se la conoce como resonancia.

Fig. 4 Respuesta
armónica cuando

Fig. 5 Respuesta
armónica cuando

Fig. 6 Respuesta
armónica cuando

La respuesta para un sistema en resonancia es:
[10
]
De la ecuación en resonancia [15] se observa que x(t) incrementa indefinidamente, y el
último término de la ecuación se muestra en la figura 6 en la...