Vibraciones 2GDL

Capítulo 2. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
1.

Formulación de modelos matemáticos para los sistemas mecánicos.

Con los métodos numéricos existentes hoy en día, principalmente el de elementos finitos, es
posible analizar una máquina en su forma real. Sin embargo, esto frecuentemente conduce a
un análisis muy largo y complicado y a la obtención de mucha información que no era
requerida.
Enmuchos análisis de máquinas y estructuras es conveniente sustituirlas por un simplificado
modelo matemático que:
1) se adapte mejor al cálculo matemático produciendo la información deseada tan
económicamente como sea posible y que
2) tenga la exactitud requerida. Algunos ejemplos de modelos para el análisis de
estructuras reales se muestran en las figuras. Nº2.1 a 2.4.

2. Ecuaciones delmovimiento
Los sistemas de N grados de libertad pueden escribirse en forma matricial:

[M ]{&x&} + [C ]{x&} + [K ]{x} = {F }
[M ] : Matriz de masas
[C ] : Matriz de amortiguamiento vis cos o
[K ] : Matriz de rigidez
[ f ] : Vector fuerzas externas
{x} : Vector desplazamiento

Ejemplo de sistemas de dos grados de libertad
Figura 2.5 muestra algunos sistemas que se han modelo con dos grados de libertad.Figura 2.6
muestra un sistema de dos grados de libertad que se analizará a continuación.

FIG.2.6. Sistema de dos grados de libertad a analizar

Las ecuaciones del movimiento del sistema de la figura 2.6 son:

m&x&1 + (c1 + c 2 )x&1 − c 2 x& 2 + 2kx1 − kx 2 = f 1 (t )
m&x&2 + c 2 x& 2 − c 2 x&1 − kx1 + kx 2 = f 2 (t )
⎡m 0 ⎤ ⎧ &x&1 ⎫ ⎡c1 + c 2
⎢ 0 m⎥ ⎨ x ⎬ + ⎢ − c
⎣
⎦ ⎩ &&2 ⎭ ⎣
2

− c 2 ⎤ ⎧ x&1 ⎫ ⎡2k
⎨ ⎬+
c 2 ⎥⎦ ⎩ x& 2 ⎭ ⎢⎣− k

− k ⎤ ⎧ x1 ⎫ ⎧ f 1 (t ) ⎫
⎨ ⎬=⎨
⎬
k ⎥⎦ ⎩ x 2 ⎭ ⎩ f 2 (t )⎭

3. Vibraciones libres no amortiguadas
3. 1. Ecuaciones del movimiento

Las ecuaciones del movimiento de sistemas discretos de N grados de libertad son:

[M ]{&x&} + [K ]{x} = 0
Las soluciones de estas ecuaciones son de la forma:
xi (t ) = X i e rt
⎧ x1 (t ) ⎫ ⎧ X 1 ⎫
⎪ x (t ) ⎪ ⎪ X ⎪
⎪ 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ rt
rt
⎨
⎬ =⎨ ⎬e ⇒ {x(t )} = {X }e
...
...
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎩ x n (t )⎪⎭ ⎪⎩ X n ⎪⎭

Reemplazando ecuación (2-2) en (2-1), se obtiene:

(2-1)

(2-2)

5

[Mr

2

]

+ K {X } = 0

(2-3)

La solución no trivial del sistema de ecuaciones homogéneas (2-3), se obtiene para los valores
de r que satisfagan la ecuación característica siguiente:

[

]

det Mr 2 + K = 0

(2-4)

Ejemplo .
Determine las frecuencias naturales ymodos de vibrar del sistema indicado en figura 2-6
1. Para determinar las frecuencias naturales se utiliza ecuación (2-4):

[

]

det Mr 2 + K = det

mr 2 + 2k
−k

(mr

)

2

r4 +

)(

−k
=0
mr 2 + k

+ 2k mr 2 + k 2 − k 2 = 0
2

3k 2 k
r + 2 =0
m
m

r12 = −0,382 k
r22 = −2,618 k

m

→ r1 = ± 0,618

k
j = ±ω 1 j
m

m

→ r2 = ± 1,618

k
j = ±ω 2 j
m

r1 , r2 = valores propios, eingenvalores
ω1 , ω 2= frecuencias naturales de vibrar

2. Para determinar los modos de vibrar o vectores propios se utiliza ecuación (2-3)
Asociada a cada frecuencia natural de vibrar existe un modo de vibrar determinado, o dicho
de otra forma, asociado a cada valor propio existe un vector propio. Los modos de vibrar o
vectores propios son determinados por la ecuación (2-3) para cada valor propio.
1,618kx1 − kx 2 =0
− kx1 + 0,618 x 2 = 0 ⇒ x 2 = 1,618 x1

− 0.618kx1 − kx 2 = 0
− kx1 − 1,618kx 2 = 0 ⇒ x 2 = −0.618 x1
5

6

Normalización de los modos:

Los valores xi obtenidos en el ejemplo anterior muestra que solo se puede encontrar una
relación entre las amplitudes con que vibran libremente las dos masas.. Si hay xi valores,
existen i-1 ecuaciones independientes. Para poder determinar un valor numéricopara cada
amplitud, es necesario agregar una nueva ecuación. Esto se llama normalización de los modos
de vibrar.
Existen numerosas formas de normalizar los modos de vibrar. A continuación se indican tres
formas de normalización:
1) Hacer una de las amplitudes igual a 1.
X i j : Amplitud de masa i cuando vibra con el modo j.
⎧X 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫
Si x1 = 1 ⇒ X 1 = ⎨ 11 ⎬ = ⎨
⎬
⎩ X 2 ⎭ ⎩1,618⎭
⎧X 2 ⎫ ⎧ 1 ⎫
⇒...