Vibraciones mecánicas problemas resueltos

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TLAXIACO
INGENIERIA EN MECATRONICA

VIBRACIONES MECANICAS

PROBLEMAS RESUELTOS

NOE HERNANDEZ HERNANDEZ

JULIO DE 2014

EJERCICIOS
EN EL LIBRO DE SINGERESU RAO, EN LA PÁGINA 297 VIENE EL EJEMPLO 3.19 DE UN SISTEMA NO AMORTIGUADO, RESUELTO CON MATLAB, REPRODUCIR EL EJEMPLO
Ejemplo 3.19 respuesta total de un sistema no amortiguado
Utilizando MATLAB,trace la respuesta de un sistema de resorte-masa sometido a una fuerza armónica para los siguientes datos:
m=5kg, k=2000 N/m, F(t)=100cos30tN, x_0=0.1m, x ̇_0=0.1m/s
Solución: La ecuación (3.9) da la respuesta del sistema, la cual se pude volver a escribir como:
x(t)=x ̇_0/ω_n senω_n t+(x_0-f_0/(ω_n^2-ω^2 ))cosω_n t+f_0/(ω_n^2-ω^2 ) cosωt (E.1)
dondef_0=F_0/m=100/5=20,ω_n=√(k/m)=20rad/s,y ω=30rad/s.

Código de matlab
F0=100;
m1=input('masa 1:');
m2=input('masa 2:');
m3=input('masa 3:');
k=2000;
wn1=sqrt(k/m1);
wn2=sqrt(k/m2);
wn3=sqrt(k/m3);
w=30;
x0=0.1;
x0_dot=0.1;
f_01=F0/m1;
f_02=F0/m2;
f_03=F0/m3;
t=[0:0.01:2];
x1=x0_dot*sin(wn1*t)/wn1+(x0-f_01/(wn1^2-w^2))*cos(wn1*t)+f_01/(wn1^2-w^2)*cos(w.*t);x2=x0_dot*sin(wn2*t)/wn2+(x0-f_02/(wn2^2-w^2))*cos(wn2*t)+f_02/(wn2^2-w^2)*cos(w.*t);
x3=x0_dot*sin(wn3*t)/wn3+(x0-f_03/(wn3^2-w^2))*cos(wn3*t)+f_03/(wn3^2-w^2)*cos(w.*t);
plot(t,x1,'k',t,x2,'r',t,x3,'b');
legend('m1','m2','m3')
title('Respuesta total de un sistema no amortiguado')
xlabel('t');
ylabel('x(t)');
grid on



Fig. 1 Comportamiento del Sistema respecto a diferente masa conm1=2,m2=5,m3=10

A mayor masa menos frecuencia
A menor masa más frecuencia
Que la amplitud de excitación esta relaciona con la masa, es decir a menor masa mayor amplitud.
Mayor masa la amplitud empieza a regularse
EN EL LIBRO DE SIGERESU RAO, EN LA PAGINA 307 ESTA EL PROBLEMA 3.2, COMO PRIMER PASO SIMULARLO SIN EXCITACION Y DESPUES CON LA EXCITACION CERCANA A SU FRECUENCIA RESONANTE
3.2 unsistema de resorte-masa se somete a una fuerza armónica cuya frecuencia se acerca a la frecuencia natural del sistema. Si la frecuencia forzada es de 39.8 Hz y la frecuencia natural es de 40.0 Hz, determine el periodo de batido.


Solución:
a) Simulación del sistema sin excitación

El comportamiento de la posición, velocidad y aceleración va a depender de las condiciones iniciales de nuestrosistema en este caso: posición (x=1), la velocidad (x ̇=5) y la frecuencia natural.
wn=40; %frecuencia natural
t=0:0.001:1;
x0=1; %condicion de la posicion
dx=5; %condicion de la velocidad
A1=x0;
A2=dx/wn;
A=sqrt(A1^2+A2^2); %amplitud
teta=atan(A2/A1);%ángulo de fase
x=A*cos(wn.*t-teta);%Posicióndx1=-A*wn*sin(t*wn-teta);%velocidad
dx2=-A*wn^2*cos(t*wn-teta);%aceleracion
subplot(311), plot(t,x,'r'),grid on,title('Posición');
subplot(312), plot(t,dx1),grid on,title('Velocidad');
subplot(313), plot(t,dx2),grid on,title('Aceleración');



Fig. 14 comportamientos de un sistema masa-resorte sin excitación con wn=40.

Fig. 15 comportamientos de un sistema masa-resorte sin excitación con wn=10.
b)Simulación del sistema con excitación

Simular el sistema con una frecuencia forzada de 39.8 Hz cercana a su frecuencia natural de 40 Hz.
clear all
W=39.8; %frecuencia forzada
wn=40; %frecuencia natural
x=2; %condición de posición
dx=5; %condicion de velocidad
F0=120;
m=100; %masa
f0=F0/m;
t=[0:0.01:1]; %tiempoxt=(dx/wn).*sin(wn.*t)+(x-(f0/(wn^2-W^2))).*cos(wn.*t)+(f0/(wn^2-W^2)).*cos(W.*t); %posición
dxt=dx*cos(t*wn) - wn*sin(t*wn)*(x + f0/(W^2 - wn^2)) + (W*f0*sin(W*t))/(W^2 - wn^2); %velocidad
d2xt=(W^2*f0*cos(W*t))/(W^2 - wn^2) - dx*wn*sin(t*wn) - wn^2*cos(t*wn)*(x + f0/(W^2 - wn^2)); %aceleración
subplot(311), plot(t,xt,'r',t,xt,'r'),grid on,title('Posición');
subplot(312), plot(t,dxt),grid on,title('Velocidad');
subplot(313), plot(t,d2xt),grid...