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Páginas: 12 (2799 palabras) Publicado: 13 de noviembre de 2012
FÍSICA GENERAL
Profesor: Lic. Gelacio Tafur Anzualdo Texto de consulta: Raymond A. Serway Vol. 01
Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo θ que forman.

En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es

Estadefinición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida. Proyección de un vector sobre otro Puesto que A cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es A cos θ = proy AB, será

de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el productodel módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. Ángulos entre dos vectores La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores:

Vectores ortogonales Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales.

ya queel valor del coseno de 90º es cero. Vectores paralelos o en una misma dirección Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 grados o de 180 grados.

Profesor: Gelacio Tafur Anzualdo

Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.Propiedades del producto escalar 1. Conmutativa:

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

3. Asociativa respecto al producto por un escalar m:

Expresión analítica del producto escalar Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares, tomando la base canónica en formada por los vectores unitarios {i , j , k} tenemos:

El producto escalar se realizacomo un producto matricial de la siguiente forma:

Norma o Módulo de un vector Se define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio métrico considerado. Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo.

Efectuado el producto escalar, tenemos:

de modo que

Por componentes, tomando la base canónica en

formada por los vectores unitarios {i, j, k}Profesor: Gelacio Tafur Anzualdo

De modo que

Ejemplos

Profesor: Gelacio Tafur Anzualdo

Producto vectorial
En álgebra lineal el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) oproducto externo (pues está relacionado con el producto exterior).

Definición
Sean dos vectores y vectorial entre y en el espacio vectorial ℝ3. El producto da como resultado un nuevo vector, .

Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo y dirección:


El módulo de . está dado por

donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.


La dirección delvector c, que es ortogonal a a y ortogonal a b, está dada por la regla de la mano derecha.

El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x, es frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b. El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de lasiguiente manera:

Profesor: Gelacio Tafur Anzualdo

donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho. Producto vectorial de dos vectores Sean concurrentes de base anterior. y dos vectores , el espacio afín...
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