WMora_INTERPOLACION

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL.
con OOoBasic Y OOoCalc
(VERSIÓN 1.0 - AGOSTO 16, 2011.)

Walter Mora F.,
Escuela de Matemática
Instituto Tecnológico de Costa Rica.

Textos Universitarios

Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)

Contenido

PART I

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL.

ASPECTOS PRÁCTICOS (con OOoBasic Y OOoCalc)

Introducción
I.1
Interpolaciónpolinomial.

2
3

1

5

Forma de Lagrange del polinomio interpolante.
1.1
1.2

2

13

2.1
2.2

13
17
18
20

Diferencias Divididas de Newton.
Forma de Newton en el caso de nodos igualmente espaciados.
Ejercicios
Forma de Lagrange vs Forma de Newton.

Estimación del error.

22

3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6

22
23
24
25
26
27
29
29
30

3.7

4

Introducción
Error en interpolación lineal.
Error en interpolacióncuadrática
Error en interpolación cúbica
Error con interpolación con polinomios de grado n.
Interpolación Iterada de Neville
3.6.1
Algoritmo
Otros casos.
Ejercicios

Trazadores Cúbicos (Cubic Splines).
Ejercicios

5

9
11
11

Forma de Newton para el polinomio interpolante.

2.3
3

Forma modificada y forma baricéntrica de Lagrange.
Forma baricéntrica con nodos igualmente espaciados.
Ejercicios

32
36Algoritmos e implementación con OOoBasic y Calc.

38

5.1

38
43
43
45
45
50
51

5.2
5.3
5.4

Forma de Lagrange del polinomio interpolante
Ejercicios
Forma modificada y forma baricéntrica de Lagrange.
Ejercicios
Forma de Newton del polinomio interpolante.
Ejercicios
Trazadores cúbicos

Ejercicios

55
PART II

Introducción
I.5
I.6
I.7
I.8
I.9

INTERPOLACIÓN. ASPECTOS TEÓRICOS.

Forma de Lagrangepara el polinomio interpolante.
Forma de Lagrange modificada y forma baricéntrica de Lagrange.
Forma de Newton para el polinomio interpolante.
Estimación del error.
Polinomios de TChebyshev y convergencia.
Ejercicios

Solución de los Ejercicios
Bibliografía

57
59
59
61
63
65
68
69
70

3

PARTE I

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL.
ASPECTOS PRÁCTICOS (con OOoBasic Y OOoCalc)

Introducción

Lainterpolación polinomial es la base de muchos tipos de integración numérica y tiene otras aplicaciones teóricas.
En la práctica a menudo tenemos una tabla de datos {( xi , yi ), i = 0, 1, 2, ..., n}, obtenida por muestreo o experimentación. Suponemos que los datos corresponden a los valores de una función f desconocida (a veces es conocida, pero queremos cambiarla por una función más sencilla de calcular). El“ajuste de curvas” trata el problema de
construir una función que aproxime muy bien estos datos (es decir, a f ). Un caso particular de ajuste de curvas es
la interpolación polinomial: En este caso se construye un polinomio P( x ) que pase por los puntos de la tabla.
La interpolación polinomial consiste en estimar f ( x ∗ ) con P( x ∗ ) si x ∗ no está en la tabla pero se puede ubicar
entre estosvalores. Una situación típica se muestra en el siguiente ejemplo en el que tenemos datos que relacionan
temperatura con el segundo coeficiente virial.1

Ejemplo 1

Considere los siguientes datos para el nitrógeno (N2 ):
T (K )
B(cm3 /mol )

100
−160

200
−35

300
−4.2

400
9.0

450
?

500
16.9

600
21.3

donde T es la temperatura y B es el segundo coeficiente virial.
¿Cuál es el segundocoeficiente virial a 450K?. Para responder
la pregunta, usando interpolación polinomial, construimos un
polinomio P que pase por los seis puntos de la tabla (ya veremos cómo), tal y como se muestra en la figura (I.1). Luego, el
segundo coeficiente virial a 450K es aproximadamente P(450) =
13.5cm3 /mol.

100

200

300

400 450 500

600

50

100

Figura I.1 Polinomio interpolante

1

El comportamiento degases no ideales se describe a menudo con la ecuación virial de estado
PV
B
C
= 1 + + 2 + ...,
RT
V
V
donde P es la presión, V el volumen molar del gas, T es la temperatura Kelvin y R es la constante de gas ideal. Los coeficientes B = B( T ), C =
C ( T ), ... son el segundo y tercer coeficiente virial, respectivamente. En la práctica se usa la serie truncada
PV
B
≈1+
RT
V

Ejemplo 2
Consideremos...