woskiano

Notas sobre Wronskiano
Jos´ Luis Mancilla Aguilar
e
El objeto de esta nota es presentar una condici´n suficiente para la independencia lineal de
o
conjuntos de funciones, simple de verificar.
Dado un intervalo I de R, recordamos que C(I) denota al espacio vectorial compuesto por
todas las funciones f : I → R que son continuas en I y que C k (I), con k ∈ N, denota al subespacio
de C(I)formado por las funciones f : I → R que son k-veces derivables con continuidad en I
(cuando el intervalo I contiene a alguno de sus extremos, se consideran en ese punto las derivadas
laterales que correspondan). Recordemos que el conjunto de funciones continuas {f1 , . . . , fn },
con fi ∈ C(I), i = 1, . . . , n, es linealmente independiente si la unica combinaci´n lineal de las fi
´
o
queverifica la condici´n
o
c1 f1 + c2 f2 + · · · + cn fn = 0

(1)

es la trivial, es decir, c1 = c2 = · · · = cn = 0.
Observamos que (1) es equivalente a la condici´n
o
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + · · · + cn fn (x) = 0 ∀x ∈ I.
Dado un conjunto de funciones {f1 , . . . , fn }, con fi ∈ C (n−1) (I) para i = 1, . . . , n (observe
que la cantidad de derivadas continuas que se supone tiene cada fi es unamenos que la cantidad
de funciones que tiene el conjunto considerado), se define el wronskiano de {f1 , . . . , fn } mediante


f1 (x)
f2 (x)
···
fn (x)
 f1 (x)
f2 (x)
···
fn (x) 


W (f1 , . . . , fn )(x) = det 
x ∈ I.
(2)
.
.
.
 ,
..
.
.
.
.


.
.
.
(n−1)

f1

(n−1)

(x) f2

(n−1)

(x) · · · fn

(x)

Por ejemplo, si consideramos lasfunciones f1 (x) = x, f2 (x) = ex y f3 (x) = e−x , tenemos que


x ex e−x
W (f1 , f2 , f3 )(x) = det  1 ex −e−x  = 2x ∀x ∈ R.
0 ex e−x
El siguiente resultado da una condici´n suficiente para la independencia lineal de un conjunto
o
de funciones en t´rminos del wronskiano de ellas.
e
Teorema. Supongamos que {f1 , f2 , . . . , fn } es un conjunto de funciones pertenecientes a C n−1(I)
tal que para alg´n x0 ∈ I, W (f1 , . . . , fn )(x0 ) = 0.
u
Entonces {f1 , f2 , . . . , fn } es linealmente independiente.
Demostraci´n. Supongamos que para ciertos n´meros reales c1 , . . . , cn ,
o
u
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + · · · + cn fn (x) = 0 ∀x ∈ I.
Derivando sucesivamente ambos miembros de la igualdad resulta que para todo x ∈ I:
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + · · · + cn fn (x) = 0
c1f1 (x) + c2 f2 (x) + · · · + cn fn (x) = 0
.
. . .
.
. .
.
. .
(n−1)
(n−1)
(n−1)
c1 f1
(x) + c2 f2
(x) + · · · + cn fn
(x) = 0
1

Lo anterior puede expresarse matricialmente:

f1 (x)
f2 (x)
···
fn (x)
 f1 (x)
f2 (x)
···
fn (x)

.
.
.

..
.
.
.
.

.
.
.
(n−1)

f1

(n−1)

(x) f2

(n−1)

(x) · · · fn







(x)

c1
c2
.
..





 
 
=
 

cn

0
0
.
.
.







∀x ∈ I.

0

Entonces, en particular, tomando x = x0 obtenemos la igualdad
 


f1 (x0 )
f2 (x0 )
···
fn (x0 )
0
c1
 f1 (x0 )
f2 (x0 )
···
fn (x0 )   c2   0
 


.
.
.

 .  =  .
..
.
.
.
.

 .   .
.
.
.
.
.
(n−1)
(n−1)
(n−1)
0
cn
f1
(x0 ) f2
(x0 ) · · ·fn
(x0 )




.


Como el determinante de la matriz cuadrada que aparece en el lado izquierdo de la igualdad es
el wronskiano de f1 , . . . , fn evaluado en x0 , y suponemos que ´ste no es nulo, tenemos que tal
e
matriz es inversible y que por lo tanto c1 = c2 = · · · = cn = 0. Luego {f1 , f2 , . . . , fn } es l.i., que
es lo que quer´
ıamos probar.
Del Teorema reci´n demostradose deduce el siguiente
e
Corolario. Si {f1 , f2 , . . . , fn }, con fi ∈ C (n−1) (I) para i = 1, . . . , n, es un conjunto linealmente
dependiente entonces necesariamente
W (f1 , . . . , fn )(x) = 0 ∀x ∈ I.

En resumen, si el wronskiano de un conjunto de funciones cuyo dominio es el intervalo I
es distinto de cero en alg´n punto x0 ∈ I, el conjunto es l.i.; si el conjunto es l.d....