C Lculo Num Rico

C´
alculo Num´
erico I
Integraci´
on Num´
erica
La integral resuelve el problema de calcular el ´area bajo la gr´afica de
una funci´on positiva definida sobre un intervalo cerrado. El c´alculo
elemental de funciones de una variable real proporciona un m´etodo
elegante de calcular la integral de una funci´on. El teorema fundamental del c´alculo nos dice que el problema de calcular la integral
deuna funci´on continua se reduce al de buscar una segunda funci´on
cuya derivada sea la funci´on dada, es decir una primitiva de ella.
Sin embargo el problema de hallar una primitiva de una funci´on
dada puede resultar muy dif´ıcil si no imposible. De hecho sabemos
que existen funciones elementales —es decir, combinaciones algebraicas de funciones trigonom´etricas y logar´ıtmicas y sus inversas—
2cuyas primitivas no son expresables de esta forma (p. ej. e−x ). Por
esta raz´on es por la que estudiamos m´etodos num´ericos que aproximen el valor de la integral buscada. Ya la definici´on de integral
de Riemann proporciona un m´etodo de aproximaci´on num´erica: las
sumas de Riemann. Sin embargo su convergencia es muy lenta y
no resultan u
´tiles para obtener resultados pr´acticos. Los m´etodosnum´ericos que vamos a estudiar consisten en sustituir la funci´on
dada por una aproximaci´on suya y tomar como valor de la integral
de la funci´on el valor de la integral de su aproximada.
Veremos en primer lugar los resultados que se obtienen aproximando la funci´on por medio de un polinomio interpolador con especial ´enfasis en los casos lineal (regla del trapecio) y cuadr´atico
(regla deSimpson). A continuaci´on estudiaremos las cuadraturas
de Gauss.

18

Regla del Trapecio

Si para calcular el valor aproximado de la funci´on f en el intervalo [a, b ] sustituimos dicha funci´on por el polinomio lineal que la
interpola con nodos en los extremos del intervalo obtenemos
b

Tf =
a

(x − a)f (b) + (b − x)f (a)
f (b) + f (a)
= (b − a)
.
b−a
2
1

Integraci´
on

´lculo Nume
´rico I
Ca
¿Cu´alser´a el error cometido?
b

E(T f ) = T f − I(f ) = −

(x − a)(x − b)f [a, b, x]dx
a

Por el teorema del valor medio generalizado del c´alculo integral
b

∃ξ ∈ (a, b) : E(T f ) = −f [a, b, ξ]

(x − a)(x − b)dx
a

y por tanto, si f ∈ C 2 ([a, b]),
∃ζ ∈ (a, b) : E(T f ) =

(b − a)3
f (ζ).
12

Si b − a no es peque˜
no la regla del trapecio no ser´a muy u
´til para
calcular I(f ). En ese casopodr´ıamos aplicarla dividiendo antes
el intervalo [a, b ] en un cierto n´
umero n de subintervalos de longitud h = (b − a)/n con extremos xj = a + jh, j = 0, 1, . . . , n.
Tendr´ıamos entonces
n

n

xj

I(f ) =

h3
h
[f (xj−1 ) + f (xj )] − f (ξj )
2
12

f (x)dx =
j=1

xj−1

j=1

n

=

h[ 21 f (x0 )

+ f (x1 ) + · · · + f (xn−1 ) +

1
f (xn )]
2

h3
f (ξj ).
−
12 j=1

Llamamos regla del trapecio compuestaa

Tn f =

regla del trapecio compuesta

b−a 1
[ f (x0 ) + f (x1 ) + · · · + f (xn−1 ) + 12 f (xn )].
n 2

El error que se comete al tomar Tn f en vez de If es
n

h3
E(Tn f ) = Tn (f ) − I(f ) =
f (ξj )
12 j=1
n

=

h2
1
h2
(b − a)
f (ξj ) = (b − a)f (ξ),
12
n j=1
12

ξ ∈ (a, b).

Este error puede estimarse asint´oticamente de la siguiente manera:
E(Tn f )
lim
= lim
n→∞
n→∞
h2

n

h
f (ξj )
12j=1

cantidad esta u
´ltima que se puede interpretar como una suma de
Riemann de forma que
E(Tn f )
1
=
2
n→∞
h
12

b

lim

f (x)dx =
a

2

f (b) − f (a)
12

Integraci´
on

´lculo Nume
´rico I
Ca
y as´ı se obtiene
h2
˜ nf )
[f (b) − f (a)] ≡ E(T
12

E(Tn f ) ≈

˜ n f ) es una estimaci´on asint´otica del error E(f ).
Se dice que E(T
Utilizando esta estimaci´on asint´otica del error se puede mejorarla
regla del trapecio con la llamada regla del trapecio corregida:
CTn (f ) = Tn f −

regla del trapecio corregida

(b − a)2
[f (b) − f (a)].
12n2

Ejemplo 18.1. Calcular por medio de la regla del trapecio la integral
1
0

4dx
1 + x2

(= π).

Determinar utilizando la formula del error cuantas veces habr´a
que componer la regla del trapecio para calcular la integral anterior con dos cifras...