Ensayo+evaluacion integral

ALGEBRA LINEAL

UNIDAD 1 VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES VECTORES EN R²     NOCION DE DISTANCIA SEGMENTOS DIRIGIDOS Dos segmentos de recta se dicen equivalentes, si tienen la misma longitud (magnitud) y dirección. Al segmento de recta dirigido PQ, lo denominamos vector, llamémoslo pues v=PQ. DEFINICION ALGEBRAICA DE VECTOR ALGUNAS OPERACIONES CON VECTORES

+ Multiplicación de unvector por un escalar VECTOR UNITARIO Sea u=(a,b), entonces un vector unitario es la misma dirección de u es w= [lul ]u + Suma de vectores Sean u=(a, b ) y v= (c, d), entonces la suma de u y v es: u + v= (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), es decir efectuamos la suma de los vectores u y v componente a componente. + Diferencia de vectores A partir de la definición de suma de vectores y de producto por escalar, laoperación de resta dos vectores surge de manera natural. + Producto escalar Sea u=a, b y v=(c, d), entonces el producto escalar de u y v, que se denota u - v, es: u · v= ac + bd º Interpretación geométrica del producto escalar - Dos vectores u y v se dicen paralelos si el ángulo entre ellos es de 0º o de 180º, cuando el ángulo es de 0º los dos vectores apuntan en la misma dirección y en el caso de180º apuntan en direcciones opuestas. - Dos vectores de u y v, ≠0 se dicen ortogonales o perpendiculares si el ángulo entre ellos es de 90º.  PROYECCIONES Consideremos el siguiente esquema, y deseamos encontrar la “sombra” de vector u que cae perpendicular al vector v.
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VECTORES EN R³ Análogo al trabajo efectuado con los vectores en R², obtenemos una correspondencia que permite definir unvector en R³. Será esta pues, una terna de números (x,y,z), el punto P, y el origen del sistema tradicional O, (0,0,0), entonces el segmento dirigido OP, será. º Representación de puntos en R³ Para representar puntos en R³, un procedimiento eficaz es representar inicialmente, las primeras coordenadas que representan un punto en el plano x, y (en el cual se basa todo el trabajo del capítuloanterior), y posteriormente ascender en forma paralela al eje z el número de unidades que indica la respectiva coordenada. + Distancia entre dos puntos (Euclides) La dirección de un vector u en R³, está dada por la dirección del vector unitario w, que va en u la misma dirección de u es decir w= lul + Vectores base La dirección de un vector u en R³, está dada en el ángulo α, β y y, que son los ángulos queconforma en vector u con las partes positivas de los ejes x, y y z respectivamente. + Producto vectorial Sea u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3), entonces el producto vectorial (cruz) de u y v, notado por u x v, es: u x v = (u2 v3- v2u3)î-(u1v3-v1u3)j+(u1v2,- v1u2)k^ cuyo resultado es un vector.

PROBLEMAS 1. Encuentre la magnitud y dirección de los siguientes vectores: a. Ū = (-2,5) u = u = −2
2

+5

2

������ �� = ��

��

4 + 25

�� = tan−1 −2 = -2.5 tan−1 −2.5 = −68.19859051 = −68˚ 11′ 54.93" Se le suma 180˚ = 111˚ 48’ 05.07”

5

u = 29

b. �� = (− 5, −3) v = v = v = (− 5)2 + (−3)2 5+9 14 �� = tan−1 −
−3 5

= 53.3007748 = 53° 18′ 02.79"

Se le suma 180˚ = 233˚ 18´ 02.79”

2. Dados los vectores ū1=(-1,3), ū2=(-2,-3), ū3=(4,1) realice: a. 2ū1-3ū2 2(-1,3) - 3(-2,-3)(-2,6) + (6+9) (4,15) b. –2ū3 +4ū2 – ū1 -2(4,1)+4(-2,-3)-(-1,3) -8-2-8-12+1-3 (-8-8+1)(-2-12-3) (-15,-17) 3. Dados los vectores ū1 = (-1,3) y ū2 = (4,1), encuentre en ángulo entre ellos.

ū1 = (-1,3)
��1 = tan−1 −1 ��1 = −71° 33′ 54.18" ��1 = −71° 33′ 54.18" + 180° ��1 = 108° 26′ 05.82"
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ū2 = (4,1)
��2 = tan−1 4 ��2 = 14° 02′ 10.48" ��1 − ��2 = 108° 26′ 05.82" − 14° ��2′ 10.48" ��1 − ��2 =94.39870556 = 94° 23′ 55.34"
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4. Dado el vector ū1 = (-1,-8), encuentre un vector unitario en la misma dirección de ū1. �� = �� =
�� ��

�� = ( (−1)2 + (−8)2

−1 65

,

−8 65

)

�� = 65 5. Encuentre un vector ū, cuya magnitud y dirección sean la de �� = 2 , �� = �� 4 . 2 tan �� = tan �� 4 = 1 î= 2 Î=ĵ �� = 2 = 2 = 2î2 2= 2î 6. Dados los vectores ū1 =2î - 3ĵ – 2ŷ y ū2 = - î...