L Mites Y Resoluciones De Indeterminaciones


LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Si f es una función, decimos que si el valor de f (x) se hace arbitrariamente próximo a A cuando x se aproxima más y más al valor a. Por ejemplo, , ya que x2 se hace arbitrariamente próximo a 9 cuando x se acerca más y más a 3.
La definición admite una formulación más precisa ( más rigurosa) como sigue: si y solo si para cualquier número positivo elegido , porpequeño que sea, existe un número positivo tal que, siempre que , entonces .
La idea de la demostración se ilustra en la Figura 1. : Una vez elegido o sea, tras la elección del intervalo (ii), entonces se puede hallar o sea, se puede determinar el intervalo (i) de modo que, siempre que esta en el intervalo (i) , digamos en x0, entonces f (x) esta en el intervalo (ii), en f (x0). Nótese que elhecho importante de que sea verdad o no, depende del valor de f (x) en x = a. De echo, f (x) no necesita siquiera estar definida en x = a.


1 x 1 1 f (x)Figura 1.
Ejemplo 1: , aunque no está definido para x = 2. Como , vemos que tiende a 4 como x tiende a 2.
Ejemplo 2: Usemos la definición rigurosa para probar que . Sea . Hemos de hallar un tal que, siempre que , entonces . Notemos en primer lugar que
Asimismo, si , entonces . Por tanto, si tomamos como el menor entre1 y , entonces, siempre que ,

LÍMITE POR LA DERECHA Y LÍMITE POR LA IZQUIERDA

Por denota el hecho de que f (x) tiende a A cuando x tiende hacia a por valores menores que a, es decir, cuando x tiende hacia a por la izquierda. Analógicamente, significa que f (x) tiende a A cuando x tiende hacia a por valores mayores que a, o sea, cuando x tiende hacia a por la derecha. La afirmación esequivalente a la unión de estas dos afirmaciones: y . La existencia del límite por la izquierda no implica la existencia del límite por la derecha, y recíprocamente.
Cuando una función f esta definida solo a un lado del punto a, entonces es lo mismo que el límite lateral, si existe. Por ejemplo, si , entonces f esta definida solo a la derecha del cero. Por tanto, . Naturalmente, no existe,pues no esta definida para x < 0. Por otra parte, sea la función , que solo esta definida para x > 0.
En este caso, no existe, y en consecuencia, no existe.
Ejemplo 3: La función tiene el intervalo como dominio de definición. Si a es cualquier número en el intervalo abierto – 3 < x < 3, entonces existe y es igual a , Ahora consideremos a = 3. En primer lugar, hagamos tender x hacia 3por la izquierda; entonces . Ahora hagamos tender x hacia 3 por la derecha; entonces no existe, porque para no es un número real. Así pues .
Análogamente, existe y es igual a 0, pero no existe. Por tanto, .

TEOREMA SOBRE LÍMITES

Recogemos para referencia posterior los siguientes teoremas acerca de los límites.
Teorema 1: Si , una constante, entonces
Si y ,entonces:
Teorema 2: , constantes.
Teorema 3:
Teorema 4:
Teorema 5: , siempre que
Teorema 6: , supuesto que es un número real.

LÍMITES AL INFINITO

Diremos que f (x) tiende a cuando x tiende a a y escribiremos si cuando x tiende a su límite a (sin tomar el valor a) f (x) llega a hacerse y se mantiene después mayor que cualquier numero positivo prefijado, por grande que este sea. En formamás precisa: si y solo si para cualquier número positivo M existe un número positivo tal que, siempre que , entonces .
Diremos que f (x) tiende a cuando x tiende a a y escribiremos si cuando x tiende a su límite a (sin tomar el valor a) f (x) llega a hacerse y se mantiene después menor que cualquier numero negativo prefijado. Por entenderemos que cuando x tiende a su límite a (sin tomar el...