N Cleo E Imagen De Una Transformaci N Lineal

Núcleo e imagen de una transformación lineal


Objetivos. Definir el núcleo y la imagen de una transformación lineal, probar que son
Sub-espacios (del dominio y del contra dominio respectivamente),ver la relación con las pro-piedades inyectiva y suprayectiva, conocer algunos ejemplos. Luego en otras clases vamos a estudiar, como construir bases en el núcleo y en la imagen, y como estánrelacionadas sus dimensiones.

Requisitos. Transformación lineal, imagen de un conjunto bajo una aplicación, pre-imagen de un conjunto bajo una aplicación, funciones inyectivas, funciones suprayectivas.

1.Definición (la imagen de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T 2 L (V, W). La imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicaciónT: im (T):= {w 2 W: 9v 2 V tal que w = T (v)}.

2. Definición (el núcleo de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T 2 L (V, W). El núcleo (kernel, espacionulo) de T se define como la pre-imagen completa del vector nulo: ker (T):=_x 2 V: T(x) = 0W.

3. Proposición (el núcleo de una transformación lineal es un sub-espacio vectorial del dominio). Sean V,W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T 2 L (V, W).
Entonces ker (T) es un sub-espacio de V.

4. Proposición (la imagen de una transformación lineal es un sub-espacio vectorial delcondominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T 2 L (V, W).
Entonces im (T) es un sub-espacio de W. Parte de demostración. Se aplica el criterio de sub-espacio. Se demuestra que el conjuntoim (T) es cerrado bajo la adición y bajo la multiplicación por escalares, además contiene al vector cero.

Mostremos que el conjunto im (T) es cerrado bajo la adición. Sean w1; w2 2 im (T).
Por ladefinición de la imagen, existen v1; v2 2 V tales que w1 = T (v1), w2 = T (v2). Por la linealidad de T, T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) = w1 + w2: Logramos encontrar un vector x = v1 +v2 tal que T(x) =...