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Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1

PÁGINA 122
P RACTICA
Sistemas lineales

1

Comprueba si el par (3, –1) es solución de alguno de los siguientes sistemas:
°2x + y = 5

a) ¢

£3x – 2y = 11

° x – 2y = 5

b) ¢

£4x + y = 8

El par (3, –1) es solución de un sistema si al sustituir x por 3 e y por –1, se verifican ambas igualdades:
a)

2x + y = 5 ° 2 · 3 – 1 = 6 – 1 = 5
(3, –1) essolución
°
¢
¢ 8 del sistema.
3x – 2y = 11 £ 3 · 3 – 2 · (–1) = 9 + 2 = 11 £

b)

x – 2y = 5 ° 3 – 2(–1) = 3 + 2 = 5
°
¢
¢
4x + y = 8 £ 4 · 3 – 1 = 12 – 1 = 11 ≠ 8 £

La segunda ecuación no se cumple para x = 3, y = –1. El par (3, –1) no es solución de este sistema.

2

Completa para que los siguientes sistemas tengan como solución x = –1,
y = 2:
° x – 3y = …

a) ¢

£2x + y = …
° 3x +

y=…
£ … + y/2 = 0

c) ¢

a)

° y–x=…

b) ¢

£ 2y + x = …
°… – 2x = 4

d) ¢

£3y + … = 1

x – 3y = … °
° –1 – 3 · 2 = –1 – 6 = –7
¢ Si x = –1, y = 2 8 ¢
2x + y = … £
£ 2 · (–1) + 2 = –2 + 2 = 0
° x – 3y = –7
Así, ¢
es el sistema buscado.
£ 2x + y = 0

b)

y–x=… °
° 2 – (–1) = 2 + 1 = 3
¢ Si x = –1, y = 2 8 ¢
2y + x = … £
£2·2–1=4–1=3
° y–x=3
El sistema que tiene como solución x = –1, y = 2 es: ¢
£ 2y + x = 37

Soluciones a los ejercicios y problemas
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3x + y = … Ø
Si x = –1, y = 2 8
y
…+—=0 ∞
2
±

c)

Ø 3 · (–1) + 2 = –3 + 2 = –1
∞ … + —2 = 0 8 … = –1 luego … es
2
±

x

El sistema buscado es:

Ø 3x + y = –1
∞ x + —y = 0
± 2
d)

… – 2x = 4 °
° … –2(–1) = 4 8 … + 2 = 4 8 … = 2 = y
¢ Si x = –1, y = 2 8 ¢
3y + … = 1 £
£ 3 · 2 + … = 1 8 … = –5 luego … es 5x

El sistema buscado es:
° y – 2x = 4
¢
£3y + 5x = 1

3

Busca dos soluciones para cada una de estas ecuaciones y representa las
rectas correspondientes:
a) 3x + y = 5

b) 2x – y = 4

a) 3x + y = 5

b) 2x – y = 4

Soluciones de esta ecuación son,

Soluciones de esta ecuación son,

por ejemplo: (1, 2) y (3, –4)

por ejemplo: (0, –4) y (2, 0)

2

(1, 2)

2
(2, 0)

2
–2

–2
–4

4

(3, –4)

(0, –4)

Resuelve gráficamente cada uno de lossiguientes sistemas:
°3x + y = 5

a) ¢

£ x+y=1

° x+y=5

c) ¢

£2x – y = 4

°4x – y = 7

b) ¢

£ y–1=0

°x + 2y = 1

d) ¢

£x + 3 = 0

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Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 3

° 3x + y = 5
a) ¢
£ x+y=1

x+y=1
3x + y = 5

Buscamos dos soluciones para cada una de las ecuaciones:
3x + y = 5

x
0
2

y
5
–1

x+y=1

x
0
1

2
(0, 1)

y
1
0

–2

(1, 0)
2
(2, –1)

–2

Las rectas se cortan en elpunto (2, –1) 8 La solución del sistema es x = 2,
y = –1.
=7
° 4x – y
b) ¢
y
–
1
=0
£

4x – y = 7
2

La segunda ecuación representa a una recta paralela
al eje X, y = 1.

y–1=0

(2, 1)

–2

2

La primera ecuación tiene como soluciones, por
ejemplo, los puntos (1, –3) y (2, 1).

–2
(1, –3)

La solución del sistema es x = 2, y = 1, punto de intersección de ambas rectas.
° x+y=5
c) ¢
£ 2x – y = 4Buscamos dos soluciones para cada una de las ecuaciones:
x+y=5

x
0
5

y
5
0

2x – y = 4

x
2
3

y
0
2

2x – y = 4
4
(3, 2)

2

Las dos rectas se cortan en el punto (3, 2), luego
x = 3, y = 2 es la solución del sistema.
° x + 2y = 1
d) ¢
£x+3=0

x+3=0

La primera ecuación tiene como soluciones, por
ejemplo, los puntos (1, 0) y (3, –1).
La segunda ecuación es la de una recta paralela al
eje Y, x = –3.Las dos rectas se cortan en el punto (–3, 2)
x = –3, y = 2.

(5, 0)
(2, 0) 4
x+y=5

8

2
(1, 0)
–2
(3, –1)
x + 2y = 1

La solución del sistema es

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Soluciones a los ejercicios y problemas
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Dos de los siguientes sistemas tienen solución única; uno de ellos es incompatible (no tiene solución) y otro es indeterminado (tiene infinitas soluciones). Intenta averiguar de qué tipo es cada uno,simplemente observando las
ecuaciones. Después, resuélvelos gráficamente para comprobarlo:
°2x + y = 3

°x + 2y = 5

a) ¢

b) ¢

£4x + 2y = 2

£ y–x=4
° x+ y=2

°3x + y = 2

c) ¢

d) ¢

£3x + 3y = 6

£ x – y = –2

• El sistema c) tiene infinitas soluciones, pues la segunda ecuación es la primera
multiplicada por 2. Por tanto, las dos ecuaciones dicen lo mismo.
• El sistema b) es incompatible,...