Álgebra Básica Francisco Rivero

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ALGEBRA

POR:
FRANCISCO RIVERO

Departamento de Matem´aticas
Facultad de Ciencias
Universidad de los Andes
M´erida - Venezuela

Contenido

i

ii

Contenido

Introducci´
on
El presente libro contiene el material de Algebra, de un curso de un
semestre, para estudiantes de la carrera de Matem´aticas o Educaci´on.
El plan de la obra consiste en dar una exposici´on de las tres estructurasalgebraicas fundamentales, como son: los grupos, los anillos y los
cuerpos, mediante el estudio de sus propiedades m´as resaltantes con
suficientes ejemplos.
Cada cap´ıtulo contiene una buena cantidad de ejercicios, los cuales
complementan la teor´ıa y permiten tener un manejo pr´actico de los
conceptos y resultados obtenidos en el texto.
En los cap´ıtulos 1-4 se estudian los grupos, comenzandopor las
definiciones b´asicas del cap´ıtulo 1, en donde se obtiene el teorema de Lagrange, hasta el teorema de la Descomposici´on para Grupos Abelianos
Finitos en el cap´ıtulo 4. Se ha incluido un cap´ıtulo especial para el
grupo de las Permutaciones, dada la importancia del mismo. En este
se demuestra la simplicidad del grupo Alternante An , para n ≥ 5.
La teor´ıa de anillos se estudia en loscap´ıtulos 5-7. Se definen los
anillos m´as importantes del ´algebra conmutativa como son los complejos, los polinomios y las matrices. Tambi´en se estudian los enteros de
Gauss, como un ejemplo de anillo Euclideano. Dentro del cap´ıtulo dedicado a los polinomios, se destacan algunos hechos de la teor´ıa cl´asica,
como el estudio de la factorizaci´on y el c´alculo de las ra´ıces, as´ı como
tambi´enaspectos m´as modernos como lo es la condici´on de Dominio de
Factorizaci´on Unica.
En el u
´ltimo cap´ıtulo se estudian los cuerpos y sus propiedades m´as
importantes. En particular se estudian las extensiones algebraicas de
los racionales.

iii

iv

Algebra

Cap´ıtulo

1
Los N´
umeros Enteros
1.1

Introducci´
on

En este cap´ıtulo nos dedicaremos al estudio de los n´
umeros enteros
los cuales sonel punto de partida de toda la teor´ıa de n´
umeros. Estudiaremos una serie de propiedades b´asicas de este conjunto, que son
fundamentales para el posterior desarrollo de esta materia, como lo son
el algoritmo de la divisi´on y el teorema de la factorizaci´on u
´nica.
Advertimos al lector sobre la necesidad de estudiar cuidadosamente
el material expuesto en todas estas secciones de estecap´ıtulo, antes de
pasar a los siguientes.
El enfoque usado en estas notas consiste en exponer inicialmente las
propiedades b´asicas de los enteros, y a partir de ´estas, ir deduciendo
propiedades m´as avanzadas, como proposiciones, teoremas,..etc. En
ning´
un momento nos planteamos dar un tratamiento formal y riguroso
del tema de los n´
umeros enteros, cosa que esta fuera del alcance de
este curso. Para unestudio completo acerca de la construcci´on de los
enteros a partir de los naturales, ver [?].

1.2

Definiciones B´
asicas

Supondremos que el lector est´a familiarizado con la notaci´on de conjunto y adem´as maneja los conceptos de pertenencia, inclusi´on, uni´on
e intersecci´on.
Definici´
on 1.2.1 Sean A y B dos conjuntos, una funci´
on de A en
B, es una ley que asocia a cada elemento a de A,un u
´nico elemento b
de B.
1

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Cap´ıtulo 1. Los N´
umeros Enteros

Usamos la letra f para indicar la funci´on, o bien el s´ımbolo
f : A −→ B. El elemento b se llama la imagen de a bajo la funci´on f ,
y ser´a denotada por f (a).
Definici´
on 1.2.2 Sea f : A −→ B una funci´on y E un subconjunto
de A, entonces la Imagen de E bajo f es el conjunto
f (E) = {b ∈ B | b = f (c), para alg´
un c enE}.
Es claro que f (E) es un subconjunto de B.
Definici´
on 1.2.3 Sea f : A −→ B una funci´on y G es un subconjunto
de B, la imagen inversa de G bajo f es el conjunto
f −1 (G) = {d ∈ A | f (d) ∈ G}.
Definici´
on 1.2.4 Una funci´on f : A −→ B se dice Inyectiva si para
todo b en B, f −1 ({b}) posee a lo sumo un elemento.
Observaci´
on: Otra forma de definir la inyectividad de una funci´on es
la...