Algebra básica

Unidad 3: Matemáticas para el Cálculo
3.1 algebra básica

3.1.1 Lenguaje algebraico (terminología).
Algebra: El objetivo del álgebra es simplificar y generalizar las expresiones y operaciones relativas a los números.
Literales: En aritmética, solo se hace uso de los signos comúnmente llamados arábigos 0, 1, 2, 3,…., etc., para representar los números reales (R); mientras que en álgebra seusan letras, como a, b, x, y, etc., las cuales se llaman literales.
Signos de operación: Los signos de operación en álgebra, son los mismos que en aritmética (+, -, x, /, =).
Paréntesis: Los signos de agrupación son los mismos que en aritmética (), [], {}.
Coeficientes: Son todos aquellos números que acompañan a las literales.
2a, 3b, 4x, 5c, ne
Exponente: Es el número que indica elnúmero de factores iguales a la base que hay en el producto.
a2, b3, x4, c5, en
Función: El valor numérico de la expresión 3x2 - 2 depende el valor que se le asigne a x. Por lo tanto a esta expresión se le denomina variable dependiente. En cambio, el valor de x no de pende de ninguna otra cantidad; por lo cual se dice que x es una variable independiente.
La variable dependiente se denomina función yse representa por lo general como f(x), que se lee función de x, así se tiene:
f(x) = 3x2 - 2
Valor de la función: Para obtener el valor de la función, basta con evaluar ésta en el punto deseado así podemos tener.
f(0) = 3x2 – 2 = 3(0)2 – 2 = -2
f(1) = 3x2 – 2 = 3(1)2 – 2 = 1

Ejercicios: Evaluar las siguientes funciones para los siguientes valores numéricos, a=6, b=4, c=5.
a) f(ab) = (a –b)5
b) g(abc) = (a + b – c)4 – 23
c) h(abc) = a3 + 3ab2 – 3a2b – b3
d) i(abc) =
3.1.2. Grado y términos semejantes.
Término o monomio: En la expresión
5x – 2ab +
Consta de tres partes: 5x, –ab y . Cada una de éstas partes se llama término o monomio.
Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que consta de dos términos, por ejemplo.
a + b, a2 + b2, cd – 8af
Trinomio: Sellama trinomio a la expresión algebraica que consta de tres términos, por ejemplo.
x + y + z, a2+ 5ab – 6b3
Polinomio: Se llama polinomio a la expresión algebraica que consta de dos o más términos, por ejemplo.
a – b, c2 + 2cd + d2, 5a2b + 8cd – 7mn +15c3
Ordenación de polinomios: Antes de efectuar ciertas operaciones, se necesita ordenar los términos de los monomios de forma ascendente odescendente, es decir, escribir sus términos de manera que los exponentes de una misma literal vayan aumentando o disminuyendo.
Ejemplo: Ordenar el polinomio ax2 – bx4 + 1 + cx3 + dx6 – x5 en forma ascendente y descendente
a) Ascendente: 1+ ax2 + cx3 – bx4 – x5 + dx6
b) Descendente: dx6 – x5 – bx4 + cx3 + ax2+ 1
Términos semejantes: Son aquellos que solo difieren por sus coeficientes numéricosy su signos.
Ejemplo:
a) 5ab, –7ab, 14ab
b) 2x2, –13x2, 27x2
c) 2x, –bx, mx
Reducción de términos semejantes: Para reducir términos semejantes se suman separadamente los coeficientes precedidos del signo + y los coeficientes precedidos del signo -; luego se efectúa la suma algebraica de los semi-resultados. El signo del resultado final corresponderá a la operación que tenga más peso.Ejemplo: Reducir los términos semejantes de la siguiente expresión.
14a2 – 9a2 + 6 – a – 5a2 + 3a + 3a2 – 1 = 3a2 + 2a + 5
Grado de un término. El grado del término 7x2y3 es 5, y resulta de la suma de los exponentes de las variables o literales, en este caso, 2 y 3.
Grado de una expresión algebraica: El grado de una expresión algebraica es el término de mayor grado de cuantos términos forman laexpresión.
a) 3x2 + 13x + 4 es de segundo grado.
b) 5x2 + 9xy2 = 45 es de tercer grado.

Ejercicios.

1.- Decir cuál es el grado de los polinomios siguientes; primero con respecto a x, luego con respecto a y, finalmente con respecto a xy.

a) 4x2 – 8x2yz
b) a6x5 + 2y2x4
c) a2y2 + b2x2 – x2y3

2.- Ordenar el siguiente polinomio con respecto a x.

a) 4a3x3 – 5ax6 + 9a2x7 – 4a4x3 + 5x...