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à ndice
Ejercicio 10, página 184 3
Ejercicio 20, página 185 5
Ejercicio 30, página 186 7
Ejercicio 40, página 187 10
Ejercicio 50, página 187 11
Ejercicio 60, página 188 13
Ejercicio 70, página 188 17
Ejercicio 80, página 189 19
Ejercicio 90, página 190 20
Ejercicio 100, página 191 22

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Ejercicio 10, página 184
Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justificatu respuesta. Para las afirmaciones
que consideres que son falsas pon un ejemplo ilustrativo.
a) Si tres vectores: , cumplen , entonces
Esta afirmación es falsa:
Podemos ver, que aplicando la propiedad del producto escalar:
Valor numérico
Aunque los valores de , el resultado sigue siendo el mismo: 1. Por lo tanto, podemos decir que la premisa es
verdadera, pero no la solución.
b) No existen dosvectores cumpliendo y
Esta afirmación es falsa.
Primeramente porque es un producto escalar, por lo tanto, no tiene módulo, asÃ− que la afirmación es
falsa.
Lo que podemos considerar posible es:
=
3 = 1· 2 · cos cos= y como este resultado es >1, y sabemos que los valores de coseno no pueden serlo, no
existe.
c) Si tres vectores , son linealmente independientes, entonces también lo son losvectores , y
Para que se cumpla esta propiedad, los determinantes formados por estos vectores deben ser distintos de cero,
es decir, el rango de la matriz determinada por los mismos debe ser de rango 3.

2

Entonces, si aplicamos la afirmación del enunciado:
Por lo que podemos concluir, que si aplicamos las propiedades de los determinantes, substituyendo una fila o
columna por la suma de éstacomo combinación lineal de las otras, si determinante debe dar distinto de
cero, significando que los tres vectores son independientes y por lo tanto puedes formar una base.
(Cantabria. Septiembre 2007. Bloque 3. Opción A)
Ejercicio 20, página 185
Se sabe que los puntos P1 (2,-3,3) y P2 (0, 1,-1) son vértices de un cuadrado C. Halla los otros dos
vértices de C, sabiendo que están en larecta:
Primeramente, planteamos un esquema del enunciado, sabiendo que el punto donde se cruzan las dos
diagonales del cuadrado C es el punto medio, que vamos a abreviar como PM
Sabemos que el punto P4 y el punto P2 están en la misma recta que P3 y P1, por lo tanto, PM también
está contenido en ésta.
Sabemos que el punto P4 y el punto P2 están en la misma recta que P3 y P1, por lo tanto, PMtambién
está contenido en ésta.
Calculamos el punto medio siguiendo la fórmula:
Sustituimos los valores de los puntos P3 y P1:
El Punto Medio es: (1, -1, 1)
De todos modos, para comprobar que el planteamiento, sustituimos este punto en la ecuación de la recta r
para verificar, tanto que el resultado sea correcto, como que realmente este punto esté contenido en la recta:
1 = 1 = 1. Se verifica.
Alser un cuadrado, sabemos que la distancia del punto P1 al PM es la misma que la del punto P2 al PM, es
decir:
De este modo, vamos a determinar los valores de que posteriormente nos van a servir para determinar los
otros dos vértices:
Aclaración: Para hallar los valores de P2, hemos planteado la recta r de forma paramétrica:
Seguidamente, calculamos los módulos de los dos vectores encontradosanteriormente, aplicando la
fórmula del módulo:
=
==
==
==0

3

Ahora, sustituimos los valores 0 y 2 en la ecuación paramétrica de la recta r para hallas P2 y P4:
Para
Para
(Navarra. Septiembre 2008. Grupo 1. Opción A)
Ejercicio 30, página 186
a) Los puntos A (1,1,0), B(0,1,1) y C(-1,0,1) son vértices consecutivos de un paralelogramos ABCD.
Calcula las coordenadas del vértice D y elárea del paralelogramo.
Primeramente, planteamos el enunciado con un esquema, considerando un paralelogramo cualquiera:
Seguidamente, para calcular las coordenadas, planteamos:
=
A-B=D-C
D=A-B+C
Por lo tanto:
(x,y,z) = (1, 1, 0) - (0, 1, 1) + (-1, 0, 1)
(x,y,z) = (1, 0,-1) + (-1, 0, 1)
(x, y, z) = (0, 0, 0), es decir, las coordenadas del vértice D son (0, 0, 0)
Para hallar el área, enunciamos,...