001 Conceptos Elementales De Geometrc3ada En El Plano

Conceptos elementales de Geometría en el plano
Ped. Media en Matemática
Curso Geometría y trigonometría básica
I Semestre 2012.
Profesor Rodrigo Jiménez

1. Geometría Euclidiana
Sistema axiomático1 que corresponde a la geometría del plano y del espacio
tridimensional, cuyo iniciador y mayor exponente fue Euclides con su texto denominado
Los Elementos, donde concibió algunos postulados:
i.
ii.iii.
iv.
v.

Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une.
Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.
Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
Todos los ángulos rectos son congruentes.
Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.

1.1. Conceptosfundamentales
1.1.1

Todos los objetos que aparecen en el desarrollo de la geometría deben
definirse claramente, sin dejar lugar a confusiones ni ambigüedades.
Sin embargo, existen algunas excepciones a esta regla de rigurosidad y
que son el cimiento de la geometría euclidiana. Son los llamados
conceptos primitivos, los cuales no se definen y se aceptan como si
fueran conocidos por todos2.

1.1.2

El primerconcepto primitivo es el punto en el espacio.
Todas las figuras de la geometría están conformadas
por puntos. Así, puede decirse que los objetos
estudiados por la geometría son conjuntos de puntos.
Se suele representar los puntos con letras mayúsculas
de nuestro alfabeto y es usual hablar, por ejemplo, de
los puntos A, B y C .

1.1.3

Los siguientes conceptos primitivos son las rectas y los planos.No se
discutirán mayormente, pues asumimos que son conocidos por todos.
Para identificar una recta se consideran
dos puntos A y B sobre ella. Se escribe AB
para la recta determinada por estos puntos.
Así una misma recta puede denominarse de
varias maneras. En efecto, si A, B y C son 3
puntos sobre una misma recta, se tiene que

AB  AC  BC .
1.1.4

Tres puntos A, B y C pueden o no estaralineados. En general, si varios
puntos pertenecen a una misma recta se dicen colineales, y se dicen
coplanares si pertenencen a un mismo plano.

1.1.5

Dados dos puntos A y B, escribimos AB ó BA para señalar la
distancia entre ambos puntos. De esta manera, AB es siempre un
número NO negativo y el caso AB  0 se da solamente cuando

A  B (el punto A es el mismo punto B).

1

Conjunto de axiomas ypostulados que por medio de deducciones, para demostrar teoremas (afirmaciones
que pueden ser demostradas y que se compone ciertas proposiciones llamadas hipótesis y tesis).
2
EN efecto, luego de pensar un poco, es fácil convencerse de la imposibilidad de definir todo: es necesario
aceptar algunas cosas como “indefinibles”.

1.1.6

Dados tres puntos colineales A, B y C, éstos pueden ordenarse de
variasmaneras. Se escribe A  B  C
para indicar que B está ubicado entre A
y C, lo que significa que AB  BC  AC .
Se denota por AB al segmento de
recta de extremos A y B, que contiene a
todos los puntos que están entre A y B.
Así, podemos decir que el segmento AB es el Lugar Geométrico
de los puntos que están entre A y B (además de A y B por supuesto)1.
Nótese que AB es un número no negativo y AB esun conjunto de
puntos2.

1.1.7

Dados dos segmentos AB

y CD , puede suceder que AB  CD .

En este caso los segmentos son uno sólo y se tiene que A  C y

B D o A D y B C.
También puede suceder que AB  CD . En este caso los
segmentos tienen igual longitud y se dice que son segmentos
congruentes, lo que se denota como AB  CD .
1.1.8

El rayo AB es una línea que parte de A y se extiendeindefinidamente
en la dirección desde A hacia B. Se define matemáticamente como la
reunión del segmento AB más todos los puntos P tales que B está
entre A y P. Nótese que AB y BA son rayos distintos. Se dice que A
es el vértice del rayo AB .

1.2. Ángulos
1.2.1. Un ángulo es la reunión de dos rayos con un
vértice común. Los rayos son llamados lados del
ángulo y su vértice común pasa a llamarse
vértice...