002 Control 2 FMM112 SEM 1

Control 2.
Cálculo Diferencial
Jornada Diurna.

Nombre:
Indicaciones:
♣
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ

Debe desarrollar solo uno de los siguientes problemas.
No está permitido el uso de libros ni apuntes.
Debedesarrollar cada pregunta en la hoja correspondiente, no se
aceptan hojas anexas.
Preguntas incompletas y/o con desarrollo incoherente serán evaluadas con menor puntaje.
Debe resolver los ejercicios utilizandolos contenidos vistos en clases.
El uso de cualquier aparato tecnológico durante el desarrollo del
control será sancionado con la nota mínima.

Pregunta 1

Pregunta 2

Nota

Pregunta 1 (Razón deCambio).
Un embudo en forma de cono invertido tiene 5 cm de radio, y 8 cm de altura. Un líquido fluye dentro de
él a razón de 12 cm3 /seg y fuera de él a razón de 4 cm3 /seg. Determinar con qué rapidezsube el líquido
cuando se encuentra a 5 cm de altura.
Pregunta 2 (Optimización).
Fabricar y distribuir DVD cuesta c dolares cada uno. Si cada DVD se vende a x dolares, el número de
unidades vendidasestá dado por:
a
+ b(100 − x)
x−c
donde a y b son constantes positivas. ¿Qué precio de venta entregará la máxima utilidad?.
n=

1

PAUTA
Observación. La solución de los siguientes problemas puede no serúnica. Si encuentra algún
«Herror» favor comuniquelo vía email.

Solución Pregunta 1 (Razon de Cambio.).
Un embudo en forma de cono invertido tiene 5 cm de radio, y 8 cm de altura. Un líquido fluyedentro
de él a razón de 12 cm3 /seg y fuera de él a razón de 4 cm3 /seg. Determinar con qué rapidez sube el
líquido cuando se encuentra a 5 cm de altura.
Solución. Primero realicemos un bosquejo de lasituación:

De lo anterior tenemos que:
5
r
5h
= ⇒r=
8
h
8
Así, el volumen del líquido dentro del embudo es:
V =

25πh3
192

Por lo tanto:
dV
25πh2 dh
=
dt
64 dt
Pero, del enunciado tenemos que

dV
= 8centímetros cúbicos por segundo. Así:
dt
dh
83
= 4
dt
5 π

2

Solución Pregunta 2 (Optimización.).
Fabricar y distribuir DVD cuesta c dolares cada uno. Si cada DVD se vende a x dolares, el número...