02 LIMITES

CAPÍTULO 2

LÍMITE Y CONTINUIDAD
CASO DE ESTUDIO: EL OTORONGO Y EL MOTELO
En la comunidad Awajum un otorongo se encuentra persiguiendo a un motelo, la velocidad del
otorongo es el doble que la velocidad del motelo. Si al iniciar la persecución el motelo está a un km
de distancia del otorongo ¿ Alcanza el otorongo al motelo?
El apu de la comunidad hizo el siguiente razonamiento:
“ El otorongo elasesino del monte, nunca alcanzará al motelo, porque cuando el otorongo recorra un
km, el motelo estará en otro lugar y cuando el otorongo llegue a ese lugar, el motelo se habrá
adelantado algo más, y así sucesivamente. Luego por mucho que se acerque al motelo nunca lo
alcanzará”
Como el otorongo lleva una velocidad que es doble de la velocidad del motelo, cuando el otorongo
recorre en la primeraetapa el primer kilometro, el motelo recorre 0,5 km, y mientras el otorongo
recorre en la segunda etapa 0,5 Km el motelo recorre 0,25 km, y así sucesivamente
En la tabla siguiente se encuentra las distancias en kilómetros desde el punto de partida del otorongo
hasta cada uno de ellos en las distintas etapas:

Partida
Etapa 1
Etapa 2
…..

otorongo
0
1
1+0,5
…

motelo
1
1+0,5
1+0,5+0,25
…

OBSERVA YCALCULA
a.
b.
c.
d.

¿Qué distancia han recorrido el otorongo y el motelo en la tercera, cuarta y quinta etapa?
¿A qué distancia del motelo se encuentra el otorongo en la sexta etapa?
¿Es cierta la conclusión a la que llego el apu?
Si la conclusión del apu es falsa. ¿a qué distancia del punto de partida del otorongo, éste
alcanza al motelo?
e. Si la velocidad del otorongo es 15 veces mayor que lavelocidad del motelo,¿ a qué distancia
del punto de partida del otorongo, esté alcanza l motelo?

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En la larga evolución del concepto de límite de una función se observa claramente la necesidad
de explicitar y formalizar la noción, que se utiliza de forma implícita desde la época griega y que no
llega a su forma actual hasta el siglo pasado, en parte para validar algunos resultados ya obtenidosy
en parte para demostrar otros más generales.
Inicialmente el concepto de límite aparece como proceso implícito en algunos métodos como el
método de exhaución que se atribuye a Eudoxo, aunque su utilización más conocida la hizo
Arquímedes, el método de los infinitésimos de Kepler (1571-1630) era utilizado para resolver
problemas de medidas de volúmenes o áreas, el método de los indivisibles deCavalieri (1598-1647)
era utilizado para determinar áreas de figuras planas y volúmenes de cuerpos, el método de Fermat
para buscar extremos de curvas fue aplicado a las “parábolas e hipérbolas de Fermat”, el método de
las tangentes de Fermat y de Descartes y el método de Barrow (1630-1677). Todos estos métodos
fueron el germen del análisis infinitesimal y surgieron motivados por las exigencias dela mecánica,
de la astronomía y de la física. El álgebra aportó las herramientas necesarias para que algunos de
estos métodos se desarrollaran, destacando el método de las coordenadas, que facilitó el estudio de
las curvas. Sin embargo, estos métodos funcionaban de forma separada y no se tenía conciencia de
su generalidad; faltaba algo que les armonizara y además les diera ese carácter deuniversalidad,
Faltaba el concepto de límite. Aparecen los creadores del análisis: Newton y Leibniz
Newton (1648-1727) es el creador de la teoría de las fluxiones, un método de naturaleza
geométrico-mecánica para tratar de forma general los problemas del análisis infinitesimal.
Leibnitz (1646-1716), por su parte preocupado por la claridad de los conceptos y el aspecto
formal de la matemática, contribuyeal nacimiento del análisis infinitesimal con su teoría sobre las
diferenciales.
Euler (1707-1743) toma como punto de partida el cálculo diferencial de Leibnitz y el método de
fluxiones de Newton y los integra en una rama más general de las matemáticas, que, desde
entonces, se llama Análisis y se ocupa del estudio de los procesos infinitos.
D'Alembert (1717-1783) crea la teoría de los límites al...