02CAPITULO2
Páginas: 36 (8931 palabras)
Publicado: 14 de mayo de 2015
Capítulo II. Fundamentos Teóricos
27
CAPITULO II. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
2.1 CONSIDERACIONES GENERALES
En este capítulo y en primer lugar se darán los fundamentos básicos de electromagnetismo.
Posteriormente, el principio teórico de los elementos finitos también en máquinas eléctricas será
expuesto, siendo utilizado este método para la resolución de los circuitos magnéticos analizados
mediante elprograma FEMM.
Finalmente, una breve introducción de los diversos tipos de motores de inducción trifásicos
completará y servirá de nexo de unión entre este capítulo y los posteriores dedicados ya más a temas
específicos de la tesis.
2.2 FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO
En esta sección se detallarán las ecuaciones y teoremas más utilizados en el cálculo electromagnético
de las máquinaseléctricas{L-1}.
2.2.1 Ecuaciones de Maxwell
Cuatro son las ecuaciones de Maxwell que expresan las leyes de los fenómenos electromagnéticos.
Están formadas por cinco vectores y un escalar. Siendo sus símbolos y unidades las siguientes:
Intensidad de campo eléctrico.
E
V
m
Intensidad de campo magnético.
H
AV
m
[2.2]
Densidad de flujo eléctrico.
D
C
m2
[2.3]
Densidad de flujo magnético.
B
Wb
m2
Densidad de corriente eléctrica.
J
Densidad de carga eléctrica.
σ
A
m2
C
m2
[2.1]
[2.4]
[2.5]
[2.6]
También son cuatro las leyes que explican los fenómenos electromagnéticos, denominándose al
conjunto, ecuaciones de Maxwell.
Ley de Faraday.
Ley de Gauss del campo eléctrico.
Ley de Amperegeneralizada.
Ley de Gauss del campo magnético.
2.2.1.1 Ley de Faraday
La expresión que define de forma general la ley de Faraday, esta dada por:
∫ l ( A) E ·dl = −
Tesis Doctoral
δ
∫∫ A(l ) B ·dA
δt
[2.7]
Ramón Mª Mujal Rosas
28
Capítulo II. Fundamentos Teóricos
Donde E , es la intensidad de campo eléctrico y B , la densidad de flujo magnético. Aplicando el
teorema de Stokes, transformamos laecuación de su forma integral a su forma diferencial.
∫∫ ∫
A( l ) ( ∇
∧ E )·dA = −
∇∧E=−
δ
∫∫
δt
A( l )
∂B
∂t
B ·dA
[2.8]
[2.9]
2.2.1.2 Ley de Gauss del campo eléctrico
La forma integral de la ley de Gauss para definir el campo eléctrico es:
∫∫
A (V ) =
D·d A = ∫∫∫ V ( A) ρ ·dV
[2.10]
Aplicando el teorema de la divergencia, transformamos la ecuación anterior en su expresióndiferencial:
∫∫∫ V ( A) ∇ ·D ·dV = ∫∫∫ V ( A) ρ ·dV
[2.11]
Donde D es la densidad de flujo eléctrico y ρ, la densidad de carga eléctrica.
2.2.1.3 Ley de Ampere generalizada con el concepto de desplazamiento de Maxwell
La forma integral de la ley de Ampere, teniendo presente la corriente de desplazamiento, es la
siguiente:
∂D
·d A
A( l ) ∂t
∫ ( A) H ·d l = ∫∫ J ·d A + ∫∫
A( l )
[2.12]
Aplicando elteorema de Stokes obtendremos su expresión diferencial.
∂D
·dA
A( t ) ∂t
∫∫ ( ∇ ∧ H )·d A = ∫∫ J ·dA + ∫∫
( A)
A( l )
∇∧H = J +
∂D
∂t
[2.13]
[2.14]
2.2.1.4 Ley de Gauss del campo magnético
La forma integral de la ley de Gauss aplicada al campo magnético es:
∫∫ B·d A = 0
[2.15]
A(V )
Si aplicamos el teorema de la divergencia a la expresión anterior, obtendremos:
∫∫∫ ∇·B·dV = 0
[2.16]
V (A)
∇ ·B = 0
[2.17]
Motor Asíncrono Trifásico con Rotor de Chapas en Espiral
Capítulo II. Fundamentos Teóricos
29
2.2.2 Ecuaciones de campos potenciales
Partimos de la siguiente identidad del cálculo vectorial[L-3} .
∇ ∧ ∇ς = 0
[2.18]
La ecuación anterior indica que todo campo cuyo rotacional sea nulo puede expresarse como gradiente
de otro campo, el campo potencial escalar:
∇·∇ ∧ A = 0[2.19]
Asimismo, la ecuación vectorial anterior expresa que todo campo cuya divergencia sea nula puede
definirse como un rotacional de otro campo, el campo potencial vector. Haciendo uso de estas
identidades que se derivan del cálculo vectorial, puede definirse la densidad de campo magnético y la
intensidad de campo eléctrico en función de los campos potenciales.
∇∧E +
∇·∧ B = 0
[2.20]
B...
27
CAPITULO II. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
2.1 CONSIDERACIONES GENERALES
En este capítulo y en primer lugar se darán los fundamentos básicos de electromagnetismo.
Posteriormente, el principio teórico de los elementos finitos también en máquinas eléctricas será
expuesto, siendo utilizado este método para la resolución de los circuitos magnéticos analizados
mediante elprograma FEMM.
Finalmente, una breve introducción de los diversos tipos de motores de inducción trifásicos
completará y servirá de nexo de unión entre este capítulo y los posteriores dedicados ya más a temas
específicos de la tesis.
2.2 FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO
En esta sección se detallarán las ecuaciones y teoremas más utilizados en el cálculo electromagnético
de las máquinaseléctricas{L-1}.
2.2.1 Ecuaciones de Maxwell
Cuatro son las ecuaciones de Maxwell que expresan las leyes de los fenómenos electromagnéticos.
Están formadas por cinco vectores y un escalar. Siendo sus símbolos y unidades las siguientes:
Intensidad de campo eléctrico.
E
V
m
Intensidad de campo magnético.
H
AV
m
[2.2]
Densidad de flujo eléctrico.
D
C
m2
[2.3]
Densidad de flujo magnético.
B
Wb
m2
Densidad de corriente eléctrica.
J
Densidad de carga eléctrica.
σ
A
m2
C
m2
[2.1]
[2.4]
[2.5]
[2.6]
También son cuatro las leyes que explican los fenómenos electromagnéticos, denominándose al
conjunto, ecuaciones de Maxwell.
Ley de Faraday.
Ley de Gauss del campo eléctrico.
Ley de Amperegeneralizada.
Ley de Gauss del campo magnético.
2.2.1.1 Ley de Faraday
La expresión que define de forma general la ley de Faraday, esta dada por:
∫ l ( A) E ·dl = −
Tesis Doctoral
δ
∫∫ A(l ) B ·dA
δt
[2.7]
Ramón Mª Mujal Rosas
28
Capítulo II. Fundamentos Teóricos
Donde E , es la intensidad de campo eléctrico y B , la densidad de flujo magnético. Aplicando el
teorema de Stokes, transformamos laecuación de su forma integral a su forma diferencial.
∫∫ ∫
A( l ) ( ∇
∧ E )·dA = −
∇∧E=−
δ
∫∫
δt
A( l )
∂B
∂t
B ·dA
[2.8]
[2.9]
2.2.1.2 Ley de Gauss del campo eléctrico
La forma integral de la ley de Gauss para definir el campo eléctrico es:
∫∫
A (V ) =
D·d A = ∫∫∫ V ( A) ρ ·dV
[2.10]
Aplicando el teorema de la divergencia, transformamos la ecuación anterior en su expresióndiferencial:
∫∫∫ V ( A) ∇ ·D ·dV = ∫∫∫ V ( A) ρ ·dV
[2.11]
Donde D es la densidad de flujo eléctrico y ρ, la densidad de carga eléctrica.
2.2.1.3 Ley de Ampere generalizada con el concepto de desplazamiento de Maxwell
La forma integral de la ley de Ampere, teniendo presente la corriente de desplazamiento, es la
siguiente:
∂D
·d A
A( l ) ∂t
∫ ( A) H ·d l = ∫∫ J ·d A + ∫∫
A( l )
[2.12]
Aplicando elteorema de Stokes obtendremos su expresión diferencial.
∂D
·dA
A( t ) ∂t
∫∫ ( ∇ ∧ H )·d A = ∫∫ J ·dA + ∫∫
( A)
A( l )
∇∧H = J +
∂D
∂t
[2.13]
[2.14]
2.2.1.4 Ley de Gauss del campo magnético
La forma integral de la ley de Gauss aplicada al campo magnético es:
∫∫ B·d A = 0
[2.15]
A(V )
Si aplicamos el teorema de la divergencia a la expresión anterior, obtendremos:
∫∫∫ ∇·B·dV = 0
[2.16]
V (A)
∇ ·B = 0
[2.17]
Motor Asíncrono Trifásico con Rotor de Chapas en Espiral
Capítulo II. Fundamentos Teóricos
29
2.2.2 Ecuaciones de campos potenciales
Partimos de la siguiente identidad del cálculo vectorial[L-3} .
∇ ∧ ∇ς = 0
[2.18]
La ecuación anterior indica que todo campo cuyo rotacional sea nulo puede expresarse como gradiente
de otro campo, el campo potencial escalar:
∇·∇ ∧ A = 0[2.19]
Asimismo, la ecuación vectorial anterior expresa que todo campo cuya divergencia sea nula puede
definirse como un rotacional de otro campo, el campo potencial vector. Haciendo uso de estas
identidades que se derivan del cálculo vectorial, puede definirse la densidad de campo magnético y la
intensidad de campo eléctrico en función de los campos potenciales.
∇∧E +
∇·∧ B = 0
[2.20]
B...
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