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Noviembre 2004, pp.41-46

El método de Descartes para trazar normales
a curvas

El trabajo que hemos desarrollado en este artículo es un estudio de un método histórico desarrollado por Descartes para calcular la recta normal a una curva, y que puede ser aprovechado para calcular derivadas puntuales y generales de funciones. El
método, requiere de la resolución de ecuaciones algebraicas ytranscendentes, que en principio pueden ser complicadas (por eso
ha caído en el olvido), pero que permite introducir en el aula una gran cantidad de aspectos docentes. Además, la idea en la que
se fundamenta el método de Descartes puede ser aprovechada para calcular la distancia de un punto a una recta o un plano.

This article deals with a study of Descartes's method to determinate the tangent lineto a curve. This procedure can be used for
calculate the derivative of a function. The method is very rich from a geometrical point of view and it requires the resolution of
algebraic and trascendent equations, may be very complicates to solve (this is the reason why the method has been forget), but it
provides us to introduce in the classroom a huge among of docent aspects. Moreover, the main ideain which Descartes's method is
based can be used to calculate the distance from a point to a line or a plane.

L

a histórica controversia Leibniz-Newton sobre la invención del Cálculo Diferencial en el siglo XVII ha eclipsado
otras contribuciones que se hicieron en ese campo con anterioridad, y que fueron en su momento un testigo que recogieron tanto Leibniz como Newton para avanzar en lacarrera
del conocimiento matemático. Por otra parte, las aportaciones (independientes) tanto del alemán como el sajón fueron
tan geniales que todavía contribuyeron más a que el trabajo
de sus antecesores quedase aún más relegado a un segundo
plano. Como consecuencia de todo ello, algunos métodos históricos para el cálculo de normales (o equivalentemente de
tangentes) a curvas son, hoy día, muy pococonocidos. Tal es
el caso del método que ideó René Descartes (1596-1675), y
que estudiaremos en el próximo apartado.
Haciendo un poco de historia, parece ser que los primeros
estudios sobre tangencias a curvas y superficies se deben a
Arquímedes de Siracusa (298-212) AC y a Apolonio de Perga
(262-?) AC, aunque sus aportaciones se limitan a algunas
cónicas, tal y como sabemos por la obra de Pappus deAlejandría (290-350) AC que recoge comentarios sobre el tratado Tangencias de Apolonio, y en particular del famoso problema de las circunferencias tangentes. Después de la fértil
era helénica en el estudio de problemas geométricos, hay que
esperar hasta el siglo XVII para que se vuelvan a producir
importantes avances en el problema del trazado de tangentes
a curvas. El progreso lo realizaron, conmétodos independientes, tanto Descartes como Pierre Fermat (1601-1665).

Leyendo los textos (Boyer, 1987), (Gaukroger, 1995) y (Chica,
2001), resulta revelador el hecho de que parece ser que con su
potente Méthode, Descartes era consciente de que todas las
propiedades de una curva estaban completamente determinadas si se es capaz de dar su ecuación en dos variables y trazar su normal, y escribe(véase, Boyer pág. 435):
Habré dado aquí todo lo que es necesario para el estudio
de curvas, una vez que dé un método general para trazar
una línea recta que forme ángulos rectos con una curva en
un punto arbitrario de ella. Y me atrevería a decir que este
no es sólo el problema más útil y más general que conozco, sino de los que hubiera deseado conocer.

Sin embargo, Descartes no fue capaz de realizargrandes
avances en su método para el trazado de normales, ya que
como veremos después, conduce a ecuaciones dif íciles de
resolver en la época en que lo desarrolló. No obstante, la propuesta de Descartes resulta, a nivel didáctico muy sugerente
hoy porque requiere conjugar aspectos geométricos (sobre
todo relativos a las propiedades de la circunferencia) con
otros de naturaleza algebraica,...