05_2
Páginas: 10 (2373 palabras)
Publicado: 31 de octubre de 2015
INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES.
6. En la integral doble
f (x, y) dxdy, colocar los l´ımites de integraci´
on en ambos
D
ordenes, para los siguientes recintos:
´
i) trapecio de v´
ertices (0, 0), (1, 0), (1, 2) y (0, 1).
ii) segmento parab´
olico y = x2 , y = 1.
iii) c´ırculo x2 + y 2 ≤ 1.
iv) c´ırculo x2 + y 2 ≤ y.
Soluci´
on
Si dibujamos las gr´
aficas y despejamos cada una delas variables con respecto a la otra,
tenemos:
1
i) I =
x+1
dx
1
f (x, y) dy =
0
0
0
1
1
ii) I =
dx
x2
0
√
1
iii) I =
dx
−1
dy
f (x, y) dx.
1
dy
−1
iv) I =
dx
−1/2
√
(1− 1−4x2 )/2
1−y 2
√
−
f (x, y) dx.
1−y 2
√
√
(1+ 1−4x2 )/2
1/2
f (x, y) dx.
y−1
y
√
− y
f (x, y) dy =
1
dy
1
√
1−x2
√
− 1−x2
2
f (x, y) dx +
0
√
1
f (x, y) dy =
−1
1
dy
1
f (x, y) dy =dy
0
y−y 2
√
−
f (x, y) dx.
y−y 2
7. Cambiar el orden de integraci´
on en las integrales siguientes:
√
3
a)
25−x2
f (x, y) dy.
dx
0
4x/3
2
b)
2−x
dx
−6
−1
√
2
c)
f (x, y) dy.
x2
4
2x−x2
dx
1
f (x, y) dy.
2−x
e
d)
ln x
dx
1
√
2a
dx
e)
0
f (x, y) dy.
0
√
2ax
f (x, y) dy, a > 0.
2ax−x2
1
x3
2
dx
f)
1
8
8
x
2
x
f (x, y) dy.
dx
f (x, y) dy +
Soluci´on
a) La regi´
on de integraci´
on, indicada en la figura, es la que verifica el sistema
25 − x2 .
0 ≤ x ≤ 3, 4x/3 ≤ y ≤
4
3
Como el punto (3, 4) es la intersecci´on entre la circunferencia y la recta, la nueva integral
se escribir´
a como
√
3
4
f (x, y) dy =
dx
0
√
25−x2
4x/3
3y/4
dy
0
5
f (x, y) dx +
0
25−y 2
f (x, y) dx.
dy
0
4
b) Se trata de la regi´
on comprendida entre lapar´abola y = x2 /4 − 1 y la recta y = 2 − x.
8
2
-6
2
Al invertir el orden de integraci´on, la integral se descompone as´ı:
√
2 y+1
0
I=
dy
−1
8
√
−2 y+1
f (x, y) dx +
2−y
dy
0
√
−2 y+1
f (x, y) dx.
c) La regi´
on de integraci´
on es el segmento de circunferencia (x − 1)2 + y 2 = 1 limitado por
la recta x + y = 2. La integral se puede escribir como:
√ 2
1
I=
1+
dy
0
1−y
f (x,y) dx.
2−y
2
d) Para invertir el orden de integraci´
on, basta despejar x en la ecuaci´on y = ln x. Tenemos
as´ı:
e
1
f (x, y) dx.
dy
I=
ey
0
e) Si observamos la regi´
on de integraci´on, al cambiar el orden de integraci´on debemos
descomponer la integral en tres sumandos:
2a
a
a
√
a
a−
I=
dy
a2 −y 2
a
2a
f dx +
y 2 /2a
0
2a
2a
√
0
a+
f dx +
a2 −y 2
2a
dy
a
f dx.
y 2/2a
f) La suma de las dos integrales dadas origina la regi´on dada por la figura.
8
1
1 2
8
Al cambiar el orden de integraci´
on, queda sencillamente:
8
I=
y
dy
8. Calcular las siguientes integrales:
2
(a)
3x+1
dx
1
xy dy.
2x
|x|
1
(b)
ex+y dy.
dx
−1
−2|x|
√
1−x2
1
(c)
1 − x2 − y 2 dy.
dx
0
f (x, y) dx.
y 1/3
1
0
3
1
1
(d)
(x + y)2 dx.
dy
−1
|y|
8
√
3
(e)
y
2ex dx.
dy
y/4
0
Soluci´
on
(a) Basta resolver directamente las integrales iteradas para obtener:
2
3x+1
2
xy dy
dx
=
1
2x
1
2
=
1
3x+1
xy 2
2
2
x(3x + 1)2
x(2x)2
−
2
2
dx =
1
2x
5x3 + 6x2 + x
dx =
2
dx
2
5x4
x2
+ x3 +
8
4
=
1
137
.
8
(b) Calculamos primero la integral respecto a la variable y:
|x|
1
dx
−1
|x|
1
x+y
e
−2|x|
1
x+y
dy =
e
−1
(ex+|x| − ex−2|x| ) dx.dx =
−1
−2|x|
Ahora descomponemos la integral simple en suma de dos integrales para sustituir el valor
absoluto:
1
0
1
(ex+|x| − ex−2|x| ) dx =
(e2x − e−x ) dx
(1 − e3x ) dx +
−1
−1
0
0
1
x − e3x
3
=
+
−1
1
1 2x
e + e−x
2
0
1
5 1
= − + e−3 + e2 + e−1 .
6 3
2
(c)√Integramos primero respecto a y para lo cual hacemos el cambio de variable sen t =
y/ 1 − x2 . De este modo:
√
1
01−x2
1
1 − x2 − y 2 dy
dx
=
0
π/2
( 1 − x2 )2 · cos2 t dt
dx
0
0
1
2
(1 − x ) ·
=
0
=
π
4
1
t
sen 2t
+
2
4
π
(1 − x ) dx =
4
2
0
(d) El dominio de integraci´
on es la regi´on ilustrada en la figura.
4
π/2
dx
0
x3
x−
3
1
=
0
π
.
6
1
x=y
1
x=-y
-1
Integramos primero respecto a y y despu´es descomponemos el intervalo [−1, 1] en dos subintervalos para calcular la integral...
6. En la integral doble
f (x, y) dxdy, colocar los l´ımites de integraci´
on en ambos
D
ordenes, para los siguientes recintos:
´
i) trapecio de v´
ertices (0, 0), (1, 0), (1, 2) y (0, 1).
ii) segmento parab´
olico y = x2 , y = 1.
iii) c´ırculo x2 + y 2 ≤ 1.
iv) c´ırculo x2 + y 2 ≤ y.
Soluci´
on
Si dibujamos las gr´
aficas y despejamos cada una delas variables con respecto a la otra,
tenemos:
1
i) I =
x+1
dx
1
f (x, y) dy =
0
0
0
1
1
ii) I =
dx
x2
0
√
1
iii) I =
dx
−1
dy
f (x, y) dx.
1
dy
−1
iv) I =
dx
−1/2
√
(1− 1−4x2 )/2
1−y 2
√
−
f (x, y) dx.
1−y 2
√
√
(1+ 1−4x2 )/2
1/2
f (x, y) dx.
y−1
y
√
− y
f (x, y) dy =
1
dy
1
√
1−x2
√
− 1−x2
2
f (x, y) dx +
0
√
1
f (x, y) dy =
−1
1
dy
1
f (x, y) dy =dy
0
y−y 2
√
−
f (x, y) dx.
y−y 2
7. Cambiar el orden de integraci´
on en las integrales siguientes:
√
3
a)
25−x2
f (x, y) dy.
dx
0
4x/3
2
b)
2−x
dx
−6
−1
√
2
c)
f (x, y) dy.
x2
4
2x−x2
dx
1
f (x, y) dy.
2−x
e
d)
ln x
dx
1
√
2a
dx
e)
0
f (x, y) dy.
0
√
2ax
f (x, y) dy, a > 0.
2ax−x2
1
x3
2
dx
f)
1
8
8
x
2
x
f (x, y) dy.
dx
f (x, y) dy +
Soluci´on
a) La regi´
on de integraci´
on, indicada en la figura, es la que verifica el sistema
25 − x2 .
0 ≤ x ≤ 3, 4x/3 ≤ y ≤
4
3
Como el punto (3, 4) es la intersecci´on entre la circunferencia y la recta, la nueva integral
se escribir´
a como
√
3
4
f (x, y) dy =
dx
0
√
25−x2
4x/3
3y/4
dy
0
5
f (x, y) dx +
0
25−y 2
f (x, y) dx.
dy
0
4
b) Se trata de la regi´
on comprendida entre lapar´abola y = x2 /4 − 1 y la recta y = 2 − x.
8
2
-6
2
Al invertir el orden de integraci´on, la integral se descompone as´ı:
√
2 y+1
0
I=
dy
−1
8
√
−2 y+1
f (x, y) dx +
2−y
dy
0
√
−2 y+1
f (x, y) dx.
c) La regi´
on de integraci´
on es el segmento de circunferencia (x − 1)2 + y 2 = 1 limitado por
la recta x + y = 2. La integral se puede escribir como:
√ 2
1
I=
1+
dy
0
1−y
f (x,y) dx.
2−y
2
d) Para invertir el orden de integraci´
on, basta despejar x en la ecuaci´on y = ln x. Tenemos
as´ı:
e
1
f (x, y) dx.
dy
I=
ey
0
e) Si observamos la regi´
on de integraci´on, al cambiar el orden de integraci´on debemos
descomponer la integral en tres sumandos:
2a
a
a
√
a
a−
I=
dy
a2 −y 2
a
2a
f dx +
y 2 /2a
0
2a
2a
√
0
a+
f dx +
a2 −y 2
2a
dy
a
f dx.
y 2/2a
f) La suma de las dos integrales dadas origina la regi´on dada por la figura.
8
1
1 2
8
Al cambiar el orden de integraci´
on, queda sencillamente:
8
I=
y
dy
8. Calcular las siguientes integrales:
2
(a)
3x+1
dx
1
xy dy.
2x
|x|
1
(b)
ex+y dy.
dx
−1
−2|x|
√
1−x2
1
(c)
1 − x2 − y 2 dy.
dx
0
f (x, y) dx.
y 1/3
1
0
3
1
1
(d)
(x + y)2 dx.
dy
−1
|y|
8
√
3
(e)
y
2ex dx.
dy
y/4
0
Soluci´
on
(a) Basta resolver directamente las integrales iteradas para obtener:
2
3x+1
2
xy dy
dx
=
1
2x
1
2
=
1
3x+1
xy 2
2
2
x(3x + 1)2
x(2x)2
−
2
2
dx =
1
2x
5x3 + 6x2 + x
dx =
2
dx
2
5x4
x2
+ x3 +
8
4
=
1
137
.
8
(b) Calculamos primero la integral respecto a la variable y:
|x|
1
dx
−1
|x|
1
x+y
e
−2|x|
1
x+y
dy =
e
−1
(ex+|x| − ex−2|x| ) dx.dx =
−1
−2|x|
Ahora descomponemos la integral simple en suma de dos integrales para sustituir el valor
absoluto:
1
0
1
(ex+|x| − ex−2|x| ) dx =
(e2x − e−x ) dx
(1 − e3x ) dx +
−1
−1
0
0
1
x − e3x
3
=
+
−1
1
1 2x
e + e−x
2
0
1
5 1
= − + e−3 + e2 + e−1 .
6 3
2
(c)√Integramos primero respecto a y para lo cual hacemos el cambio de variable sen t =
y/ 1 − x2 . De este modo:
√
1
01−x2
1
1 − x2 − y 2 dy
dx
=
0
π/2
( 1 − x2 )2 · cos2 t dt
dx
0
0
1
2
(1 − x ) ·
=
0
=
π
4
1
t
sen 2t
+
2
4
π
(1 − x ) dx =
4
2
0
(d) El dominio de integraci´
on es la regi´on ilustrada en la figura.
4
π/2
dx
0
x3
x−
3
1
=
0
π
.
6
1
x=y
1
x=-y
-1
Integramos primero respecto a y y despu´es descomponemos el intervalo [−1, 1] en dos subintervalos para calcular la integral...
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