5

83

Unidad 5 : INTEGRALES MÚLTIPLES
Tema 5.3 : Integrales Dobles en Regiones Generales
(Estudiar la Sección 15.3 en el Stewart 5ª Edición; Hacer la Tarea No. 20)

Cuando se va a calcular una integral doble en una región general, no
rectangular, debemos de distinguir dos casos diferentes: (a) Regiones Tipo I,
en las que debe integrarse primero la variable y, y (b) Regiones Tipo 2, en las
que debeintegrarse primero la variable x.
Ambas regiones se ilustran gráficamente, y simbólicamente, en la Tabla de la
página 81. Esta tabla debe estudiarse detenidamente antes de proceder a
resolver los ejercicios siguientes.
Ejemplo 1 Evalúe la integral doble

y=1+x2

∫∫ (x + 2 y )dA , en donde D es la
D

2

región limitada por las parábolas
2

y = 2x ;

y = 1+ x

y=2x2

2

Para determinar cualvariable
conviene integrar primero, debemos
de dibujar la región de integración y
determinar si es del Tipo I o es del
Tipo II.
1

1+ x 2

1

−1

2 x2

−1

-1

1

∫ ∫ (x + 2 y )dy dx = ∫ [xy + y ] dx
= {[x(1 + x ) + (1 + x ) ]− [x(2 x ) + (2 x ) ]}dx
∫
= {[x + x + 1 + 2 x + x ] − [2 x + 4 x ]}dx
∫
1

2
2 1+ x
2 x2

2 2

2

2 2

2

−1
1

3

2

4

3

4

−1

1

 − 3x 5 x 4 2 x 3 x 2

=
− 3x − x + 2 x + x +1 dx = 
−
+
+
+ x
4
3
2
−1
 5
 −1
1

∫[

4

3

2

]

6 4
− 18 + 20 + 30 32
 − 3 1 2 1  3 1 2 1 
=
− + + + 1 −  − − + − 1 = − + + 2 =
=
5 3
15
15
 5 4 3 2  5 4 3 2 

84

Ejemplo 2 Encuentre el volumen del sólido debajo del paraboloide z = x 2 + y 2 y



sobre la región ℜ = ( x, y )



0≤ x≤2 
 . (a) Haga el cálculo tomando la región
x2 ≤ y ≤ 2x 

como Tipo II, (b) haga elcálculo tomando la región como Tipo I.
Si integramos primero la variable y, los
límites de y van del valor inferior y = x 2 al
valor superior y = 2 x

y = 2x
y
x=
2

2

V=

2x

∫ ∫ (x
0

x

2

2

)

+ y 2 dy dx = L =

216
35

Si integramos primero la variable x, los
límites de x van del valor inferior x =

y = x2

x=

valor superior x =

y

4

V=

∫∫
0

Ejemplo 3. Evalúe la integral

y
y
2

(x

2

yal
2

y

)

+ y 2 dx dy = L =

216
35

∫∫ xy dA en donde D es la región limitada por la
D
2

recta y = x − 1 , y la parábola y = 2 x + 6

y = ± 2x + 6

(5,4)

y2 − 6
x=
2

(-1,-2)

y = x −1
x = y +1

85

y1 = y 2
x − 1 = 2x + 6
x 2 − 2x + 1 = 2x + 6
x 2 − 4x − 5 = 0
(x − 5)( x + 1) = 0
x1 = −1 ; y1 = −2

y +1

−2

y 2 −6
2

∫∫ xy dA = ∫ ∫
D

x 2 = +5 ;

y 2 = +4

(− 1,−2)

(5,4)

y

4

1

Ejemplo4: Evalúe la integral

∫∫
0

1

xy dx dy = L = 36

( )

x 3 sen y 3 dy dx , invirtiendo el orden de
x

2

integración.
1

∫∫

y = 1

y = x
x =

0

2

y

y

( )

x 3 sen y 3 dx dy =

0
y

 x4
3 
 sen y  dy =
0 4
0

∫

1

( )

1 1 2
1
y sen y 3 dy =
− cos y 3
4 0
12
−1
[cos(1) − 1] = 1 − cos(1)
12
12

∫[

( )]

Para la próxima clase estudiar las secciones
15.3 Integrales Dobles sobre RegionesGenerales
15.4 Integrales Dobles en Coordenadas Polares
Tarea para entregar la próxima clase
Tarea No. 20 Integrales Dobles sobre Regiones Generales

[

( )]

1
0

=

86

Ejercicios para la clase de cambio de orden de integración en integrales
dobles.
Trace la región de integración y cambie el orden de integración
Ejercicio 5:
2

∫∫
1

y=ln(x)
x=exp(y)

0

0

0

2− y
y

2

f ( x, y )dxdy
ey

21

x+y=2

∫∫

∫ ∫

f ( x, y )dydx

Ejercicio 6:
1

ln 2

ln(2)

ln x

1

2

x

∫∫
+
∫ ∫ f (x, y )dydx
f ( x, y )dydx

2

x=y
y=x1/2

0

f ( x, y )dxdy

0

2

2

1

1

2

2− x

0

Evalúe la integral invirtiendo el orden de integración
3

∫∫

Ejercicio 7:

0

1

3

0

3y

∫∫

∫∫
0

e dydx

(e − 1) 6
9

R:

π 2

∫ ∫

π 2

x =sen-1y
y=senx

cos x 1 + cos 2 x dy dx
R:

2

∫∫
0

4

y

x3

∫∫

0

R:

(e0

e x dx dy
3

1

0

sin −1 y

Ejercicio 9:

3

sin x

cos x 1 + cos 2 x dx dy

2

1

0

e dxdy

0

8

x =3y
y=x/3

x2

x2

Ejercicio 8:
1

x 3

(2

)

2 −1 3

4

e x dydx
16

π/2

8
x=y1/3
y=x3

)

−1 4
2

87

Integrales Dobles en Coordenadas Cartesianas
x=a

x=b

b

y=d

Región
Rectangular
y=c


 ( x, y )


a≤ x≤b
c≤ y≤d





d

∫ ∫ f (x, y ) dydx
∫ ∫ f (x, y ) dxdy
a

c

d

b

c...