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Respuesta en el tiempo de un Sistema de Control


La respuesta de un sistema de control, o de un elemento del sistema, está formada de dos partes: la respuesta en estado estable y la respuesta transitoria.

La respuesta transitoria es la parte de la respuesta de un sistema que se presenta cuando hay un cambio en la entrada y desaparece después de un breve intervalo.

La respuesta en estadoestable es la respuesta que permanece después de que desaparecen todos los transitorios.


Salida











t




Señales de prueba típicas. Las señales de prueba que se usan regularmente son funciones escalón, rampa, parábola, impulso, senoidales, etc. Con estas señales de prueba, es posible realizar con facilidad análisis matemáticos y experimentales de sistemas de control, dado que lasseñales son funciones del tiempo muy simples.


Respuesta en el tiempo de un sistema de control

Sea el siguiente sistema de control



La función de transferencia del sistema es

CsGs
Rs

CsGsRs
La respuesta en el tiempo Ct es obtenida tomando la transformada de Laplace inversa de Cs



L -1
Ct 
L -1 CsL -1
GsRs
Respuesta en el tiempo de un sistema de primerorden




Cs 1
RsTs 1

Cs
1


Ts 1
Rs

Respuesta al escalón unitario

La entrada escalón unitario es
Rs1
s

La respuesta en el tiempo es

Ct L -1  1
1 1 t
1e T
Ts 1 s 




Constante de tiempo, es el tiempo que tarda el sistema en alcanzar del 63.2% de su cambio total.

t T

Conforme más pequeña es la constante de tiempo la respuesta del sistema es másrápida.

Tiempo de estabilización, o tiempo de respuesta es el tiempo que necesita la curva de respuesta para alcanzar la línea de 2% del valor final, o cuatro constantes de tiempo.

ts 4 T


Respuesta al impulso unitario de un sistema de primer orden

La entrada impulso unitario es

Rs1

La respuesta en el tiempo es

 1  1
-1 t
Ts 1  T


Forma general de la función de transferenciade primer orden
Cs GT1s 1

Rs

Ts 1

Donde G es la ganancia del sistema.

Polos Son los valores de s que hacen que el polinomio del denominador sea cero.
Son las raíces del polinomio del denominador.

Ceros Son los valores de s que hacen que el polinomio del numerador sea cero.
Son las raíces del polinomio del numerador.

El Polo de la función es


El cero de la función es

s1
T

s 1
T1

Ubicación del polo y cero del sistema en el plano s.




Ejemplo
Un circuito eléctrico RC representado a continuación tiene las siguientes funciones de transferencia.



Las funciones de transferencias considerando son:
e0 t , it , eR t 
como salidas y
ei t 
como entradas
E0 s 1
I s Cs
ER s
RCs
E sRCs 1
E sRCs 1
E sRCs 1

Si el valor de la resistenciaes
R 100 K
y el valor del capacitor es
C 1f
y se le aplica un
voltaje de entrada ei 10V . Obtener la respuesta en el tiempo para cada salida.

La constante de tiempo del circuito es:
RC 100 000 * 0.000001 0.1seg
10
El voltaje de entrada aplicado es
Ei s
s
El voltaje de salida
E0 ssería

 1 10 
10
10 
E0 s
 
 
0.1s 1 s s 10s 

Obteniendo la transformada inversa de Laplace
e t 101 e10 t volts

El tiempo de estabilización para una banda del 2% sería

tS 0.4 seg


La corriente
I ssería.

1*106
s 10 
10 *106
s 10 
I s
 
 
0.1s 1 s 
s 10
s 

Obteniendo la transformada inversa de Laplace
it   0.1*103 e10 t ampers




El voltaje
ER ssería.0.1s


10 


s 10 
ER s
 
 
0.1s 1 s s 10 s 

Obteniendo la transformada inversa de Laplace

e t   10e10 t 


El tiempo de estabilización para una banda del 2% sería

tS 0.4 seg


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