05_Tema-04_09-10

40 – Matem´ticas I
a

Parte II

´
Algebra Lineal

Prof: Jos´ Antonio Abia Vian
e

I.T.I. en Electricidad

´
41 – Matem´ticas I : Algebra Lineal
a

Tema 4

Espacios vectoriales reales
4.1

Espacios vectoriales

Definici´n 88.- Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con
o
dos operaciones, una que recibe el nombre de “suma devectores” y otra que recibe el nombre de “producto de
vectores por n´meros reales” o “producto por escalares”, que verifican las siguientes propiedades:
u
(1) u + v ∈ V ;

∀ u, v ∈ V .

(2) u + v = v + u ;

∀ u, v ∈ V .

(3) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w ;

∀ u, v , w ∈ V .

(4) Existe un vector, llamado vector cero y denotado por 0 , tal que: 0 + u = u + 0 = u ;

∀u ∈V.

(5) Paracada u ∈ V , existe un vector de V , llamado opuesto de u y denotado por −u , tal que
u + ( −u ) = 0 .
(6) k u ∈ V ;

∀ k ∈ IR y ∀ u ∈ V .

(7) k( u + v ) = k u + k v ;
(8) (k + l) u = k u + l u ;
(9) (kl) u = k(l u );
(10) 1u = u ;

∀ k ∈ IR y ∀ u , v ∈ V .
∀ k, l ∈ IR y ∀ u ∈ V .

∀ k, l ∈ IR y ∀ u ∈ V .

∀u ∈V.

Por ser los escalares de IR , se dice que V es un IR -espaciovectorial. Se pueden considerar espacios vectoriales
sobre otros cuerpos de escalares, como C .
Ejemplo Los conjuntos IRn , los conjuntos de polinomios Pn [X] = {P (X) ∈ IR[X] : gr(P ) ≤ n} y los conjuntos
de matrices reales Mm×n = {matrices de tama˜o m×n }, con las operaciones usuales en cada uno de ellos, son
n
espacios vectoriales reales.
Propiedades 89.- Algunas propiedades que se deducen delas anteriores son:
(i) 0u = 0 .

(ii) k 0 = 0 .

(iii) (−1) u = −u .

(iv) k u = 0 ⇐⇒ k = 0 ´ u = 0 .
o
(v) El vector cero de un espacio vectorial es unico.
´
(vi) El vector opuesto de cada vector del espacio vectorial es unico.
´

4.2

Subespacios vectoriales

Definici´n 90.- Un subconjunto W de un espacio vectorial V se dice que es un subespacio vectorial de V ,
o
si W es unespacio vectorial con las operaciones definidas en V .
Como W ⊆ V , todos los vectores de W verifican las propiedades 2 a 5 y 7 a 10, por tanto es suficiente
probar que las operaciones suma y producto por escalares son internas en W , es decir, que se verifican las
propiedades (1) y (6) en W :
( 1∗ ) u + v ∈ W ;

Prof: Jos´ Antonio Abia Vian
e

∀ u, v ∈ W

( 6∗ ) k u ∈ W ;

∀ u ∈ W y ∀ k∈ IR

I.T.I. en Electricidad

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42 – Matem´ticas I : Algebra Lineal
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4.3 Base y dimensi´n
o

Estas dos propiedades son equivalentes a la propiedad unica:
´
k u + l v ∈ W ; ∀ u , v ∈ W y ∀ k, l ∈ IR.
Nota: Es claro, que si W es un subespacio de V , entonces 0 ∈ W .
Ejemplo P2 [X] es un subespacio de P4 [X], pues es un subconjunto suyo y si P (X), Q(X) ∈ P2 [X], el grado de
kP(X) + lQ(X) es gr(kP + lQ) = m´x{gr(kP ), gr(lQ)} ≤ m´x{gr(P ), gr(Q)} ≤ 2, por lo que est´ en P2 [X].
a
a
a
Sin embargo, {P (X) : gr(P ) = 2} no es un subespacio de P4 [X], por dos razones: primero, porque no contiene
al polinomio cero; y segundo, no verifica la propiedad (1∗ ) ya que X2 y 2X − X2 son polinomios del conjunto
pero su suma X2 + (2X − X2 ) = 2X es un polinomio de grado 1 que noest´ en el conjunto.
a
Definici´n 91.- Se dice que un vector v ∈ V es una combinaci´n lineal de los vectores v1 , v2 , . . . , vn si,
o
o
y s´lo si, ∃ c1 , c2 , . . . , cn ∈ IR tales que v = c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn vn .
o
Definici´n 92.- Dado un conjunto de vectores S = {v1 , v2 , . . . , vk } de un espacio vectorial V , llamaremos
o
subespacio lineal generado por S y que denotaremos porlin S ´ lin{v1 , v2 , . . . , vk } , al conjunto de
o
todas las combinaciones lineales que se pueden formar con los vectores de S :
lin S = lin{ v1 , v2 , . . . , vk } = c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk : ∀ ci ∈ IR
y se dir´ que S genera lin S o que v1 , v2 , . . . , vk generan lin S .
a
Naturalmente lin S es un subespacio vectorial de V y, de hecho, es el m´s peque˜o que contiene a los
a
n...