07 cuadricas final

Ing. J o r g e

Omar

Morel

Universidad Nacional de Misiones
Facultad

de

Ingenieria

Modulo M4

2

-1 Introducción
Vamos a tratar de describir en feorma genérica lo que tienen en
común las rectas, los planos, las cónicas y las superficies (cuádricas
por ahora).

-1.1

Rectas y Planos

En un principio hemos visto que la ecuación general con dos variables

b1x + b2y = d
o lo que es lo mismob1x + b2y − d = 0
representa la ecuación de una línea recta en el plano XY.
La forma genérica estructural1 de representarla es

F (x, y) = 0 ; F : polinomio de 1o grado
De forma general, una recta que yace en algún plano paralelo a uno
coordenado, como el X1X2; donde cada eje Xi puede ser cualquiera

Si la recta yace en el plano YZ, por ejemplo, se describía
b2 y + b3 z − d = 0
y la estructura es lamisma:
F (y, z) = 0 ; F : polinomio de 1o grado

1

Jorge Omar Morel

3

X o Y o Z, podrá definirse como2

F (x1, x2) = 0 , x3 = k ; F : polinomio de 1o grado
donde x1 y x2 representan dos de las tres variables cartesianas x,

y , o z y x3 la tercera.
Para describir el caso de un plano, debíamos incorporar la otra
variable:

b1x + b2y + b3z = d
es decir

F (x, y, z) = 0 ; F : polinomio de 1ogrado

(1)

· · · y cuando un plano era paralelo a un plano coordenado, (o una

recta en el espacio que ‘‘vive’’ en el plano x = x0) la forma sigue

siendo la misma (1), y ésta indica un plano si las tres variables están
presentes explícitamente (a la izquierda del signo igual), y una recta
o un plano si alguna de ellas es constante .
Es más... si se escribe por ejemplo

x1 − x2 = 0 ; 0 ≤ xi ≤ 1, ∀i= 1, 2, 3
tenemos un recorte de plano rectangular, de altura 1 (0 ≤ x3 =

z ≤ 1) y de base

√
2 como se ve en la figura;

Por ejemplo 2x + 3y − 1 = 0 , z = 2 es una recta que yace en el plano
¶¾ al
½µ z = 2 paralelo
1 − 2x
,2
,o
XY. La expresión de su lugar geométrico puede escribirse también como
x,
3
y−1
x+1
=
; z=2
(x, y, z) = (−1, 1, 2) + λ (3, −2, 0) o
3
−2

2

Sec.-1

Introducción

4

Z
11

Y

1

X
y la expresión sigue teniendo como estructura F (x1, x2, x3) =

0 ; F : polinomio de 1o grado !!
.

.

F (x1, x2, x3) = 0 ; F : polinomio de 1 grado
o

denota una recta o un plano en el espacio.
.
-1.2

.

Cónicas y Cuádricas

Cuando hemos introducido el estudio de las cónicas3, las ecuaciones de la circunferencia, elipse, hiperbola y parábola en el plano
XY tenían las formas

x2 y 2
x2y 2
y2
x2 y 2
+ = 1 ; 2 + 2 = 1 ; 2 − 2 = 1 (a > b); x =
r2 r2
a
b
a
b
4f
todas ellas en referencia a sistemas de eje X coincidente con un eje
de simetría focal, y el eje Y normal y pasante por uno o dos vértiRecordemos que una cónica es una curva (plana) que es posible obtener mediante la intersección de un cono con un plano.

3

Jorge Omar Morel

5

ces. Las tres primeras de ellas, cuandoestán referidas a sistemas
de referencia desplazados, pueden escribirse

(x − x0)2 (y − y0)2
±
=1
a2
b2
(con tal de hacer r = a = b o no), que desarrollando
b2x2 ± a2y2 − 2x0b2x ∓ 2y0a2y = a2b2 − b2x20 ∓ a2y02
|
{z
}
4

constante = d

También podríamos haber llegado a

±b2x2 + a2y 2 ∓ 2x0b2x − 2y0a2y = a2b2 ∓ b2x20 − a2y02
de modo que para generalizar, (tenemos términos cuadráticos, lineales eindependientes en las variables x e y con todos los signos
posibles) debemos considerar que la ecuación general para una
cónica se escribe

a11x2 + a22x2 + b1x + b2y = d

(2)

en el plano XY5.
Es evidente que la forma de la misma es

F (x, y) = 0 ; F : polinomio de 2o grado
Ejemplo 1

Referido a nuestra experiencia con cónicas, la ecuación de
segundo grado en dos variables

x2 + y 2 = 4 , z = 5
Como en elcaso de la hipérbola con eje focal paralelo al Y, el signo (−) acompaña al término
en x2 ,
(x − x0 )2 (y − y0 )2
−
+
=1
a2
b2

4

Como los coeficientes (aii , bi y d) ya no son cuadráticos, su signo (o su posible anulamiento)
le otorga a la ecuación la generalidad buscada.

5

Sec.-1

Introducción

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p

representa la circunferencia de radio 2 cuyo centro se halla
en (0, 0, 5), y que yace en...