1.1 INTRODUCCIÓN A LA MODELACIÓN MATEMÁTICA. APLICACIONES EN LA INGENIERÍA BIOQUÍMICA

1.1 Introducción

1.1.2.

Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos

Los modelos matemáticos surgen en todos los campos de la ciencia. Aunque la relación entre
modelos y fenómenos físicos en otras ciencias no es siempre tan estrecha como en la física, es
útil entender las teorías de la ciencia como modelos matemáticos. En estas notas se estudiarán
modelos matemáticos de la ingenieríaestructural, así como de la geotecnia y, ocasionalmente,
de áreas de la ingeniería civil. Para empezar, se propone la interpretación siguiente del término
modelo matemático en el contexto de los problemas de la ciencia y de la ingeniería.
Un modelo matemático es un conjunto de fórmulas y/o ecuaciones basadas en una descripción
cuantitativa de un fenómeno real, y creadas con la intensión de que elcomportamiento que
predicen se parezca al comportamiento real en el que se ha basado.
Componentes de los modelos matemáticos
Las cantidades matemáticas en los modelos se pueden clasificar en variables, constantes, parámetros y funciones de entrada. Una variable independiente es una cantidad que toma valores dentro
un rango o dominio. Por lo general, las variables independientes son mediciones deltiempo o de
posición. El conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente es el dominio del problema. Una variable dependiente es una cantidad que cambia durante un problema
dado, dependiendo del o los valores de la o las variables independientes. Una constante es una
cantidad que tiene un solo valor fijo.
Un parámetro es una cantidad cuyo valor está determinado para todo eldominio del modelo,
pero que puede variarse para dar una familia de problemas similares. Los parámetros son de
cierta manera los componentes más importantes de un modelo matemático.
Para la definición de modelos considere el concepto de tasa o velocidad de cambio absoluta
de una cantidad  definida como la derivada . La tasa de cambio relativa de una cantidad
 es la razón de la tasa decambio absoluta entre la cantidad :
tasa de cambio relativa =

1 
tasa de cambio absoluta
=
cantidad
 

Con el concepto de tasa de cambio absoluta se tiene la definición de la deformación unidimensional:
 () =

 ()


(1.10)

que es la razón de cambio de los desplazamientos longitudinales, de los puntos materiales  ∈
[0 ], respecto a . En la figura 1.4 se muestra una barra con área ,modulo elástico , sujeta
a una carga  en  =  y a una fuerza de cuerpo  ,en toda la barra. La gráfica que describe el
desplazamiento transversal se muestra en la figura 1.4c y la de la deformación, definida en la ec.
1.10, se muestra en la figura 1.4d.
c
°Gelacio
Juárez, UAM

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1.1 Introducción


+
 () =



µ
¶
2
 −
2

(1.11)

Figura 1.4: Diagráma: a) barra y b) barra deformadac) desplazamiento vs. longitud y d) desplazamiento vs. longitud.
Otra definición asociada a la tasa de cambio absoluta es el giro del eje neutro de una viga de
Euler-Bernoulli:
 () =

 ()


(1.12)

que es la razón de cambio del desplazamiento transversal, , de los puntos materiales  ∈
[0 ] respecto a . En la figura 1.5a se muestra una viga con modulo elástico , momento de

inercia ,sujeta a una carga transversal distribuida  en toda la viga. La gráfica que describe el
desplazamiento longitudinal se muestra en la figura 1.5b y la de la rotación, definida en la ec.
1.12, se muestra en la figura 1.5c.
 () =

¢
1  ¡ 4
 − 23 + 3 
24 

(1.13)

Figura 1.5: Diagráma: a) viga con carga distribuida, b) desplazamiento transversal vs. longitud
y c) giro vs. longitud.

c°Gelacio
Juárez, UAM

9

1.1 Introducción
Ecuación de decaimiento natural
La palabra decaimiento se emplea con el significado de "desaparición gradual". Por lo tanto, es
natural que en matemáticas el término se emplee para describir cualquier proceso en el que una
cantidad aumenta o disminuye gradualmente hasta cero. En particular un proceso de decaimiento
natural es aquel que ocasiona que una...