1.4 Algoritmo De Gauss-Jordan.

1.4 Algoritmo de Gauss-Jordan.
Se denomina matriz escalonada a una matriz en la que las filas posteriores
a una fila cuyos elementos son todos ceros, tienen todos sus elementos igual
a cero, y el n´umero de elementos nulos al comienzo de cada fila no nula es
estrictamente menor que en la siguiente.
Teorema 1.1 Dada una matriz cualquiera A 2 Rm×n existen matrices F y
U tales que FA = Usiendo U una matriz escalonada.
Demostraci´on. Probaremos el teorema de forma constructiva.
a) Si a11 6= 0, mediante transformaciones elementales filas Fij() podemos
anular todos los elementos de la primera columna, salvo el a11. Estas
transformaciones ser´ıan de la forma Fi1(−
ai1
a11
).
b) Si a11 = 0 y alg´un elemento de la primera columna es no nulo, podemos
llevarlo al lugar (11) medianteuna transformaci´on Fij y proceder despu´es
como en el caso anterior.
c) Si ai1 = 0 8 i = 1, . . . , m, la primera columna es de ceros y por tanto,
ai1 = 0 8 i > 1, es decir, se trata de una columna del tipo de las matrices
escalonadas.
Procedemos despu´es con a22 (el elemento a22 resultante de las transformaciones
anteriores) al igual que procedimos con a11 anteriormente, es decir, si a226= 0
lo utilizamos para hacer ceros por debajo de ´el en la segunda columna. Si
fuese a22 = 0 vemos si existe por debajo de ´el alg´un elemento ai2 6= 0 y, en
caso de haberlo, realizamos la transformaci´on F2i, etc.
Reiterando el proceso, llegamos a una matriz escalonada U. La matriz F
no es m´as que el producto de las matrices de las transformaciones elementales
filas realizadas para pasarde A a U.
El siguiente organigrama, muestra el algoritmo de escalonamiento de una
matriz A 2 Rm×n, mediante transformaciones elementales filas. Cuando se
alcanza la condici´on de parada, la nueva matriz A es escalonada.
Algoritmo de Gauss-Jordan. 11
Algoritmo de escalonamiento de una matriz.
Ejemplo 1.7 Consideremos la matriz A del Ejemplo 1.1.
A
F21(−2)
−!
0
@
2 1 3 4
0 0 −5 −3
1 02 3
1
A F31(−1
2 )
−!
0
@
2 1 3 4
0 0 −5 −3
0 −1/2 1/2 1
1
A F23 −!
0
@
2 1 3 4
0 −1/2 1/2 1
0 0 −5 −3
1
A = U
siendo U una matriz escalonada. Dado que
E23E31(−
1
2
)E21(−2)A = U =) FA = U
con
F = E23E31(−
1
2
)E21(−2) =
0
@
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1
A
0
@
1 0 0
0 1 0
−1/2 0 1
1
A
0
@
1 0 0
−2 1 0
0 0 1
1
A )
12 Matrices y determinantes
F =
0
@
1 0 0−1/2 0 1
−2 1 0
1
A

Se denomina forma escalonada can´onica a una matriz escalonada con la
propiedad de que el primer elemento no nulo de una fila es un uno y adem´as,
es el ´unico elemento no nulo de su columna.
Teorema 1.2 Toda matriz puede ser reducida mediante transformaciones elementales
fila a una escalonada can´onica.
Demostraci´on. Basta con observar que una vez obtenida lamatriz U, si en
una fila hay alg´un elemento no nulo, la dividimos por el primer elemento no
nulo de ella mediante Fi() y lo utilizamos para hacer ceros todos los de su
columna (que se encontrar´an por encima de ´el).
Ejemplo 1.8 En el Ejemplo 1.7 se vi´o que
A −! U =
0
@
2 1 3 4
0 −1/2 1/2 1
0 0 −5 −3
1
A F1( 1
2 )
−!
0
@
1 1/2 3/2 2
0 −1/2 1/2 1
0 0 −5 −3
1
A F2(−2)
−!
0
@1 1/2 3/2 2
0 1 −1 −2
0 0 −5 −3
1
A F12(−1
2 )
−!
0
@
1 0 2 3
0 1 −1 −2
0 0 −5 −3
1
A F3(−1
5 )
−!
0
@
1 0 2 3
0 1 −1 −2
0 0 1 3/5
1
A
F13(−2)
−!
0
@
1 0 0 9/5
0 1 −1 −2
0 0 1 3/5
1
A F23(1)
−!
0
@
1 0 0 9/5
0 1 0 −7/5
0 0 1 3/5
1
A
que se trata de una escalonada can´onica. 
Los elementos que utilizamos para anular a los dem´as elementos de una
columnase denominan pivotes. Si en un determinado paso del proceso de
pasar de A a U alguna columna es de ceros, diremos que el correspondiente
pivote es nulo.
Teorema 1.3 Toda matriz A 2 Rm×n puede, mediante transformaciones elementales,
transformarse en una del tipo

Ir 0
0 0

Algoritmo de Gauss-Jordan. 13
teniendo en cuenta que para ello es necesario realizar tanto transformaciones
fila...