1 Dist_VA_Continuas

Unidad IV

Distribuciones de Probabilidad de Variables Aleatorias Continuas
Ing. Isaac Noel García Hernández

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Introducción
Las variables aleatorias continuas, se presentan en los espacios muestrales continuos que estudian a todos
los elementos provenientes del campo de los números reales, cubren todos los puntos numéricos de la recta
y dan lugar alestudio de distribuciones de probabilidad conocidas como funciones de densidad.
Si el rango de una variable aleatoria X, contiene un intervalo (ya sea finito o infinito) de números reales,
entonces X es una variable aleatoria continua.
Una función f(x) es una distribución de probabilidad o función de densidad o función de probabilidad
continua de la variable aleatoria continua X si para cualquierintervalo de números reales a,b siendo a  b
P(a  X  b) =

 f xdx
b

a

Esto es, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo a,b es el área bajo la gráfica de la función
de densidad f(x), como se ilustra en la figura. La gráfica de f(x) se conoce a veces como curva de densidad.
0.952002

2
1.4 x

x
2.2

1

1 0.5

0

0
2.5
2.141

3
x

3.5
3.625

Para que f(x) sea una funciónde probabilidad continua, debe satisfacer las siguientes propiedades:
1. f(x)  0
2.







f x dx  1

 f xdx , donde a y b son constantes.
b

3. P (a  X  b) =

a

Nótese que para una variable aleatoria continua X,

 f xdx = 0
a

P(X = a) =

a

Además, para cualesquiera dos números a y b con a < b,
P(a  X  b) = P(a  X  b) = P(a  X  b) = P(a  X  b)
Función de distribuciónacumulativa
La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua X, es la probabilidad de que asuma
un valor menor o igual a x.
F(x) = P(X  x) =



x



f t dt , para -  X  .

Las propiedades de F(x) la función de distribución continua acumulada
1. P(S) = P(-  X  ) =

Probabilidad y Estadística



 f xdx  1


1

Unidad IV

Distribuciones de Probabilidad deVariables Aleatorias Continuas
Ing. Isaac Noel García Hernández

2. P(a  X  b) = F(b) – F(a) =

 f xdx
b

a

3. P(X = x0) = 0
Valores esperados de variables aleatorias continuas
Suponga que X es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad. F(x),  < x < .
La media de X denotada por x o E(x),





x = V(X) =



x = E(x) =



x * f x dx

Varianza
2





x  2 f x dx = E(X  )2

Empleando una fórmula abreviada.



V(X) = E(X)  E(X) =
2

2





x 2 * f x dx  (x)

2

La desviación estándar de X es
x =

V X 

Sea la variable aleatoria continua X el diámetro de un agujero taladrado en una placa de metal. El
diámetro requerido es 12.5 milímetros, pero muchas perturbaciones aleatorias en el proceso dan como
resultado diámetros másgrandes. La recopilación de datos indica que la distribución de X puede
moderarse con la función de densidad de probabilidad f(x) = 20 e-20(x - 12.5), x  12.5. Si se desechan las
piezas que tienen un diámetro mayor que 12.60 milímetros, ¿qué proporción de piezas se espera
desechar?
La función de densidad y la probabilidad pedida aparecen en la figura 2. Una pieza se desecha si X > 12.60.
Entonces,
P(X > 1 2.60) =





fX(x) dx =

12.6





20 e-20(x - 12.5)dx = - e-20(x - 12.5)

12.6



= 0.135

12.6

¿Qué proporción de piezas tienen un diámetro entre 12.5 y 12.6 milímetros?
Ahora,

P(I 2.5 < X < 12.6) =

12.6



12.5

Probabilidad y Estadística

fX(x) dx =

12.6



12.5

20 e-20(x - 12.5)dx = - e-20(x - 12.5)

12.6

= 0.865

12.5

2

Unidad IV

Distribuciones de Probabilidad deVariables Aleatorias Continuas
Ing. Isaac Noel García Hernández

DISTRIBUCION CONTINUA UNIFORME
Ciertas variables aleatorias continuas en Física, Administración y en Biología tienen
aproximadamente distribuciones uniformes de probabilidad. Por ejemplo, supóngase que consideramos
eventos que tienen una distribución de Poisson, como las llamadas telefónicas que llegan a un conmutador.
Si se sabe...