1 Lectura Sobre Calculo de L mite

Idea intuitiva de límite
En este texto vamos a presentar la idea de límite como una operación aplicada a una
función en un punto.
Se establecerán también algunos teoremas sobre límites de sumas, productos y cocientes
de funciones.
Iniciaremos nuestro estudio con la idea intuitiva de límite.
La presentación de los ejemplos siguientes aspiran a dar una idea del significado del
límite de una funciónen un punto.
Ejemplo 1:
Consideramos la función definida por f ( x) = x 2 − 1 con dominio en IR .
La representación gráfica es la siguiente:

Nos interesa observar el comportamiento de la función f para valores de x cercanos a 2
pero no iguales a 2.
Veamos las tablas siguientes:
Tabla a.

Tabla b.

Puede observarse de ambas tablas que conforme x se aproxima más a 2, f(x) toma, cada
vez, valoresmás próximos a 3.
En otras palabras, al restringir el dominio de la función a valores cada vez "más cercanos
a 2", el conjunto de imágenes o sea, los valores que toma la función, se "acercan cada vez
más a tres".
En este caso se dice que cuando x tiende a 2, que se simboliza x → 2 ,
entonces f ( x) → 3 , o sea f(x) tiende a 3. Esto lo escribimos lím f ( x) = 3
x →2

que se lee: el límite de f(x)cuando

tiende a 2, es igual a 3.

Ejemplo 2:
Sea f

la función f ( x ) =

2 x 2 − 3x − 2
x−2

La representación gráfica de f es:

definida para todo x ≠ 2

De la gráfica puede observarse que aunque la función f no está definida para x=2,
cuando x toma valores muy cercanos a 2 la función se aproxima a 5, lo que escribimos
como:
lím f ( x) = 5
x→2

Generalización del concepto de límite
Sea f unafunción definida para valores reales en los alrededores de un número b, aunque
no necesariamente en b mismo, como se representa gráficamente a continuación:

Se observa que cuando x → b entonces f ( x) → L lo que se escribe como:
lím f ( x) = L
x →b

Recordemos que al calcular
lím f (x)
x→b

no importa que la función f, esté o no definida en b; lo que interesa es que f esté definida
en lasproximidades de b.
Consideremos la siguiente representación gráfica de una función f cualquiera para la que

f (b)=P

Observe que aunque
f (b) ≠ L , para valores de x próximos a b se tiene que
f ( x) → L

por lo que puede escribirse siempre

lím f ( x) = L
x →b

Observe ahora la siguiente representación gráfica de una función f.

En este caso, cuando x tiende a b por la derecha, que se escribe x → b + ,la función tiende
a R, pero cuando x tiende a b por la izquierda, (denotado x → b − ) los valores de f(x)
tienden a T.
Así, la función f no tiende a un mismo valor cuando x → b , por lo que se dice que no
existe
lím f (x)
x →b

Consideremos ahora la función definida por f ( x) =

1
x−c

con c>0,

cuya

representación gráfica es la siguiente:

Observe que cuando
, entonces f(x) tiende a tomarvalores positivos cada vez
mayores, (es decir, f (x) → +∞ ), y que cuando
, f(x) toma valores negativos cada
vez menores, ( f (x) → −∞ ). Así, f(x) no tiende a ningún número real fijo.

Límites laterales
Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o
saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas
discontinuidades, llamadas funcionesdiscontinuas y que estudiaremos en el tema
continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo de
funciones.
Consideremos la siguiente representación gráfica de una función f, en la que existe una
discontinuidad cuando x=a:

notemos que cuando tiende hacia "a" por la derecha de "a" la función tiende a 2, pero
cuando x tiende hacia "a" por la izquierda de "a", lafunción tiende hacia 1.
Escribimos x → a + para indicar que x tiende hacia "a" por la derecha, es decir, tomando
valores mayores que "a".
Similarmente x → a − indica que x tiende hacia "a" por la izquierda, o sea, tomando
valores menores que "a".
Utilizando ahora la notación de límites, escribimos
lím f ( x) = 2

x →a +

y

lím f ( x) = 2 .

x →a −

Estos límites reciben el nombre de límites...