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1.2 La Integral Definida
Ahora introduciremos los axiomas de área de una región plana.
AXIOMAS DEL AREA DE UNA REGION PLANA

- El área de una región plana es un número real no negativo.
Sean E, F y G regiones planas:
- Si E ⊆ F entonces área( E ) ≤ área( F ) .
- Si G = E U F y área ( E I F ) = 0, entonces
-

área (G ) = área ( E ) + área ( F ).
Si E es un cuadrado de lado a , entonces área ( E )= a 2

Proposición. Si E es un rectángulo de lados a, b entonces
área ( E ) = ab

Demostración. Con el rectángulo construimos la siguiente figura
( a + b) 2

A

b
a

A
( a − b) 2

A

A
A
Sea A = área ( R )
( a + b) 2 = 4 A + ( a − b) 2 entonces
4 A = ( a + b) 2 − ( a − b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 − a 2 + 2ab − b 2 = 4ab
Por lo tanto A = ab.

Ejemplo. Una demostración del teorema de Pitágoras.
Con eltriángulo rectángulo cuyos catetos son a, b e la hipotenusa c se
forma un cuadrado de lado a + b como lo muestra la figura
( a + b) 2
A

A

c

a

c2

A

b

A

1

A

Luego el área del cuadrado es igual al área del cuadrado del centro más el
cuatro veces el área del triángulo rectángulo:
(a + b ) 2 = 4 A + c 2
ab
= 4 + c2
2
2
2
a + 2ab + b = 2ab + c 2
Por lo tanto a 2 + b 2 = c 2

Ejemplo. Demostrarque el conjunto A de puntos del plano que satisfacen
la expresión x + y = 1 tiene área cero.
Se consideran particiones uniformes de orden n en los intervalos [− 1,0] y
[0,1] tanto en el eje X como en el eje Y
Y

1

− x + y =1

x + y =1

−1

1 X

− x− y =1

x − y =1
−1

El conjunto A está contenido en la región acotada por 4n cuadrados cuyo
lado es

1
1
y cuya área es 2 por lo tanto el área de los4n cuadrados es
n
n

4n 4
= , de tal manera que cuando n tiende a infinito, el área es cero.
n2 n
Y como el conjunto A está contenido en la región que involucra 4n los
cuadrados entonces el área de A es cero.

Iniciamos con unas definiciones para llegar al concepto de integral
definida.
Definición. Una partición del intervalo [a, b] es un conjunto finito de puntos
x0 , x1 ,K, xn , tal que a = x0 ≤x1 ≤ K ≤ xn = b . La cual se denota como
P = {xk : k = 0,1,K, n} .

2

Y
f ( x)

a = x0

x k −1 x k b = x n X

Ejemplo. Para el intervalo [− 2,4] consideremos los siguientes conjuntos
3 1
7 

P1 =  − 2,− ,− ,0,1, ,4 es una partición de
2 2
2 


[− 2,4]

P2 = {− 2,−1,0,7,2,3} No es partición de [− 2,4]

Cuando un intervalo se divide en n subintervalos iguales, se dice que la
partición esuniforme de orden n.
Ejemplo.
6
2( 6)
k ( 6)


P3 =  − 2,−2 + ,−2 +
, K , x k = −2 +
, K , 4
n
n
n



es la partición uniforme de orden n del intervalo [− 2,4] .
Ejemplo. Para el intervalo [a, b] la partición uniforme de orden n , es
b−a
2( b − a )
k (b − a )


P = a , a +
,a +
,K, x k = a +
,K, b 
n
n
n



Definición. La norma de la partición se denota por P y se define como
P = Máx{xk− xk −1 : k = 1,K, n} .
Ejemplo. La norma de la partición P1 de [− 2,4]
3 1
7 

P1 =  − 2,− ,− ,0,1, ,4 es
2 2
2 

P1 = Máx{x1 − x0 , x 2 − x1 , x3 − x 2 , x 4 − x3 , x5 − x 4 , x6 − x5 , x7 − x6 }
1 1 5 1  5
= Máx  ,1, ,1, ,  =
2 2 2 2 2

Consideramos una función f ( x ) acotada en un intervalo [a, b] .
Esto es, existen constantes m y M tales que m ≤ f ( x ) ≤ M para todo x ∈ [a, b]

3Dada cualquier partición P de [a, b] , existen M k ( f ) = sup{ f ( x) : x ∈ [xk −1 , xk ]}
y mk ( f ) = inf { f ( x) : x ∈ [xk −1 , xk ]}, para cada k = 1,K, n
y tenemos
m ≤ mk ( f ) ≤ M k ( f ) ≤ M
Ahora definimos las sumas inferiores y superiores de una función f ( x )
respecto a la partición P de [a, b]
Definición. La suma inferior de f ( x ) respecto a la partición P en el
intervalo [a, b], se denota por L( f , P) y se define como
n

L ( f , P) = ∑ mk ( f )( xk − xk −1 ) .
k =1

Definición. La suma superior de f ( x ) respecto a la partición P en el
intervalo [a, b] , se denota por U ( f , P) y se define como
n

U ( f , P) = ∑ M k ( f )( xk − xk −1 ) .
k =1

Y

Y

Mk ( f )
mk ( f )

f ( x)

f ( x)

x k −1

xk

x k −1

X

xk

X

La suma inferior corresponde a la suma de áreas de...