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CONSTANTE DE INTEGRACIÓN
En la figura 4 se observa que C de la anti derivada puede tomar diferentes valores, que
Dependen de la función original Recuerda que en Cálculo Diferencial se daban, por
Ejemplo, las siguientes funciones:
ƒ(x) = x + 4
ƒ(x) = x − 10
ƒ(x) = x + 1,
Que al derivarlas obtenías:
ƒ’(x) = x
ƒ’(x) = x
ƒ’(x) = x
¿Qué pasaba con los valores 4, −10 y 1? Estos valores, que si bienvalen cero en la
Función derivada, son de gran importancia en Cálculo Integral, si queremos obtener las
Funciones originales a partir de las funciones derivadas.
Para entender lo anterior, además del término constante de integración, pasaremos a las
Funciones planteadas en el Cuestionamiento guía, esto es:
ƒ(x) = x2 (1)
ƒ(x) = x2 + 2 (2)
ƒ(x) = x2 – 2 (3)
Analizando veremos que:
En la función (1)la constante no existe, por lo tanto, es cero.
En la función (2) la constante vale 2.
En la función (3) la constante vale – 2.
Para un mejor análisis recurramos al aspecto gráfico, esto es, hacer la gráfica de cada
Función (figura 6), Tabularemos la primera función y tú harás las restantes.
ƒ(x) = y = x2 y = x2 o ƒ(x) = x2
Tabulación Gráfica
X
Y = X2
-3
-2-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9




Figura 6.
Obsérvese la posición sobre los ejes x y y de cada una de las gráficas, ¿qué diferencias
y similitudes hay? Para una mejor comprensión de lo que es Cálculo Diferencial e
Integral hagamos lo siguiente:
Al derivar la función (1) tendremos x dx2(1)
dx = 2X
Al derivar la función (2) tendremos d(x2 + 2) =2x (2)
dx
Al derivar la función (3) tendremos d(x2 - 2 ) =2x (3)dx
Estas derivadas tienen la misma expresión matemática, aun cuando prevengan de
Diferente función; mas si recurrimos al proceso inverso, es decir, integramos la función
Derivada, entonces:
Se integra la función (1’)
∫2xdx = x 2 + C , porque dx2 =2x
dx
Se integra la función (2’)
∫2xdx = x 2 + C , porque x
dx2
dx=2x .
Se integra la función (3’)
∫2xdx = x 2 + C , porque x
dx2
dx =2x
Como la integración es un proceso inverso de la derivación se infiere que al integrar las
Funciones (1’), (2’) y (3’) tendríamos las funciones (1), (2) y (3); sin embargo, en los
Resultados de la integración no se cumple, ¿por qué?, ¿Qué hace falta para obtener las
Funciones (1), (2) y (3)? Se debe agregar a laintegral indefinida una constante, C que al
Calcularse podremos determinar las funciones (1), (2) y (3), respectivamente. Por lo
Tanto, lo correcto es escribir la integración de la siguiente forma:
∫2xdx = x 2 + C , donde c = 0
∫2xdx = x 2 + C , donde c = 2
∫2xdx = x 2 + C , donde c = −2
Se advierte que el valor de C es fácil inferirlo porque ya conocíamos las funciones (1), (2)
Y (3); sin embargo, noocurre así en todos los casos, pues las más veces debemos
Indicar la constante, C, cuando efectuamos una integral indefinida. En otros casos se
Nos dan algunas condiciones iniciales de la función para determinar el valor de C.
Antes de determinar el valor de la constante es importante ver en forma gráfica la
Relación entre la integración y diferenciación. Para esto vemos el siguiente ejemplo.
De lafunción (1), ƒ(x) = x2 sabemos que su gráfica es una parábola cuyo vértice es el
Origen y concavidad hacia arriba; al obtener la derivada resulta otra función que es de
Primer grado (una recta). Este proceso se estudió en Cálculo Diferencial pero
En Cálculo Integral se tiene el proceso inverso, porque a la función derivada hay que
Aplicarle el proceso de integración .
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Se integra la función...