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 MATEMÁTICAS II


1.4. Continuidad en un punto y en un intervalo

1. Continuidad de una función en un punto

La idea de algo “continuo”, es que ese algo siempre existe, o mejor, ese algo no tiene cortes o interrupciones, ni mucho menos agujeros o saltos, es liso o permanente. Esta aproximación intuitiva, se puede expresar en términos matemáticos mediante el estudio de los modelos funcionales,de forma grafica o analítica.


1.1. Criterio grafico

La grafica de la siguiente función no presenta interrupciones o cortes en el intervalo en que se presenta, por lo tanto se dice que la función es continua.


Tomado de: http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/images/imagen14.gif Junio 25 de 2010.

A diferencia, si se presentaninterrupciones, cortes, agujeros o saltos, se dice que la función es discontinua.


Tomado de: http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/images/imagen14.gif Junio 25 de 2010.


2.2. Criterio analítico

Una función es continua en un punto si se cumplen las siguientes condiciones:

está definida, es decir, está en el dominio de
existe.Ejemplos.

1. Analizar la continuidad de , en
Solución.
La grafica de la función , es la siguiente:



Desde el criterio grafico, se diría que la grafica se puede trazar sin levantar el lápiz del papel en , incluso en todo su dominio.

Aplicando el criterio analítico, se tiene:

está definida la función en .
¿ existe? Para evaluar la existencia del límite, aplicamos el teorema de existencia y unicidaddel límite. Luego:

y , entonces:

, existe y es igual a ese valor.
Finalmente, la tercera condición:



, se cumple. Luego, es continua en .


2. Analizar la continuidad de , en

Solución.
Aplicando el criterio analítico, se tiene:

está definida la función en .
¿ existe? Para evaluar la existencia del límite, aplicamos el teorema de existencia y unicidad del límite. Como la unafunción es polinómica, el cálculo del limite lateral será equivalente, luego:

existe y es igual a ese valor.

Finalmente, la tercera condición:

, se cumple. Luego, la función es continua en .

Esta situación se ilustra en la grafica de la función.




3. Sea la función
Analizar si la función es continua en

Solución.
Aplicando el criterio analítico, se tiene:

está definida la función en.
¿ existe? Como la una función es por tramos, se calculan los límites laterales en este caso sobre la misma función alrededor de , luego:

factorizando y eliminando al indeterminación:



Finalmente, la tercera condición:

, se cumple. Luego, la función es continua en .

Esta situación se ilustra en la grafica de la función.




2.3 Discontinuidades de una función

Si una función no escontinua , entonces es discontinua en .


2.3.1 Discontinuidad evitable o removible

Cuando la función no esta definida en o toma un valor diferente al límite en ese punto, esto es:

no está definida, es decir, no está en el dominio de
existe, pero

Esta discontinuidad también se denomina evidencia como un agujero en la función. Es removible o evitable, debido a que se puede redefinir lafunción en el punto de discontinuidad, tomado el valor del límite en ese punto.

Ejemplo.
4. Sea la función
Analizar si la función es continua en

Solución.
Aplicando el criterio analítico, se tiene:

está definida la función en .
¿ existe? Como la una función es por tramos, se calculan los límites laterales:
y , entonces:
, existe y es ese valor.
Finalmente, la tercera condición:. Luego, la función es no es continua en .

Se tiene una función discontinua removible en . Esta situación se ilustra en la grafica de la función.



La función se puede redefinir para que sea continua en ese punto:

Sea


2.3.2. Discontinuidad no removible o esencial.

La discontinuidad de la función se presenta debido a que el límite no existe en , es decir lo límites laterales no son...