11 Elementos Del Movimiento

Elementos del movimiento
Unidad 11

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Contenidos (1)
1.-   Introducción.
2.-   Magnitudes escalares y vectoriales.
3.-   
Sistemas de referencia. Concepto de movimiento.
4.-   Operaciones con vectores.
5.-   Trayectoria, posición y desplazamiento.
6.-   Velocidad media e instantánea (introducción al
concepto de derivada).

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Contenidos (2)
7.-  Aceleración media e instantánea.
8.-  Componentes intrínsecas de la aceleración:
tangencial y normal..

Magnitudes escalares y
vectoriales

RRE
EPP
AAS
SOO

• Escalares: quedan perfectamente definidas con una
cantidad (número) y una unidad
– Ejemplo: el tiempo  3 s; la masa  8 kg.

• Vectoriales (vectores): Se caracterizan por:
– Módulo: (cantidad y unidad). Se representa por la longitud del
vector. Es la parte escalar.
– Dirección: es larecta que contiene el vector.
– Sentido: indicado por la punta de la flecha.
– Punto de aplicación: origen de la flecha.
– Ejemplo: la posición, velocidad, fuerza...

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Sistema de referencia y movimiento
• Es un punto del espacio respecto al cual
describimos el movimiento.
• Un objeto se encuentra en movimiento si cambia
su posición respecto al sistema de referencia.
• Los sistemas dereferencia cuentan a su vez con
uno (x), dos (x,y) o tres ejes (x,y,z),
perpendiculares entre sí, según trabajemos en una
recta, en un plano, o en el espacio.

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Representación de un sistema de
referencia tridimensional.
• Sobre cada eje se
toma como unidad
de medida los
vectores unitarios
(módulo igual a 1):
– i sobre el eje x
– j sobre el eje y
– k sobre el eje z

y

k
z

j
i

x

Vectores

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• Serepresentan con una flecha encima de la letra
que utilizada para dicha magnitud.
• Se suelen expresar en forma cartesiana en donde
ax, ay y az son sus componentes cartesianas:
•




a = ax · i + a y · j + az · k
• A partir de ahora, los vectores los escribiremos en
negrita y diferente color para mayor comodidad:
•
a = ax · i + a y · j + a z · k
• en donde i, j y k representan los vectoresunitarios
sobre los ejes x, y, z.

Suma de vectores
• Sean dos vectores: a = ax · i + ay · j + az · k
y
b = bx · i + by · j + bz · k
• El vector suma vendrá dado por:
a + b = (ax + bx) · i + (ay + by) · j + (az + bz) · k
• Ejemplo: Sean
y
a
a=3i+2j
5
y b=2i–3j
x
a + b = (3+2) i + (2 –3) j
b
=5 i–j

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Cálculo del módulo de un vector.
• Sean un vector:
a = a x · i + ay · j + a z · k
• El módulo de a,que se representa como |a| se
calcula aplicando el teorema de Pitágoras:
•
____________
|a| =  ax2 + ay2 + az2
• Ejemplo: En el vector anterior c = a + b= 5 i – j
•
____________
____________
___
|a| =  ax2 + ay2 + az2 =  52 + (–1)2 + 02 =  26

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10

Vector Posición ( r = r) .
• Para un punto P de coordenadas (x,y,z)
el vector posición viene dado por:
• r=x·i+y·j+z·k

r=2i+2j

Representaciónde vectores posición
v=x·i+y·j

• En dos
dimensiones

v=x·i+y·j+z·k

• En tres
dimensiones

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12

Ecuación del movimiento
• La ecuación que proporciona la posición de
un objeto con respecto al tiempo se llama
“ecuación del movimiento”:
movimiento
•
r(t) = x(t) · i + y(t) · j +z(t) · k
• Ejemplo: r(t) = [2t · i + (1–t) · j + (3t2+4) · k] m
• En el S.I. la unidad será el m.

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Ejercicio: Seael movimiento definido por la siguiente ecuación r = 2t i + 8j en unidades del S.I.
Dibujar los vectores posición en los instantes 0, 2,
y
4 y 6 segundos.
• t (s)
r (m)
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• 0
8 j (0,8)
• 2 4 i + 8 j (4,8)
• 4 8 i + 8 j (8,8)
5
• 6 12 i + 8 j (12,8)
5

10

x

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Ecuaciones paramétricas.
• Son las ecuaciones que relacionan cada
componente cartesiana con el tiempo.
•
x = f(t); y = g(t); z = h(t)
•Son ecuaciones escalares (no vectores).
• Ejemplo: En el vector:
r(t) = [2t·i + (1–t) ·j + (3t2+4)·k] m

• las ecuaciones paramétricas serían:
• x = 2t ; y = 1 – t ; z = 3t2 + 4

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Trayectoria
• Es la línea que sigue el
movimiento.
• Los diferentes puntos
de dicha línea se
obtienen dando valores
a “t” en la ecuación del
movimiento
(paramétricas).

y

x

16

Ecuaciones de la trayectoria.
• Se...