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Funciónes

Función Cuadrática

La función Cuadrática


Definición
Sean  a  ,  b  y  c  números reales, tal que  a  ≠  0 . Y sea  f 
una función real, entonces:
f  es una función cuadrática si:
y   =   f ( x )   =   a x²  +  b x  +  c



Donde x es la variable independiente; y es la variable
dependiente; a, b , c son los coeficientes de la función.

Gráfica de una función cuadrática.


Elgráfico de una función cuadrática siempre es una parábola
y puede tener una de las siguientes posiciones.

Concavidad de la parábola


La posición en que se abre la parábola, (hacia arriba o hacia
abajo) está determinado por el signo del coeficiente de x² en la
función y = ax² +bx +c, es decir, está determinada por el signo
de “a”.
–

Si a > 0 , entonces la concavidad es positiva y la parábola
seabre hacia arriba. 

–

Si a < 0 entonces la concavidad es negativa y la parábola
se abre hacia abajo. 

Actividad
 Determine

la concavidad de las siguientes

funciones:
y = 2x² + 3x -1
y = - 3x² - x + 2
y = -x² + 6x - 9

Ceros de la función


Los valores x1 y x2 de la
variable independiente que
hacen que la función
y = ax² +bx + c sea igual a
cero se denominan ceros
de la función.



Estosvalores se
determinan resolviendo la
ecuación cuadrática que se
obtiene al igualar la función
a cero.

Actividad
 Calcule,

si existe, los ceros de las siguientes
funciones:
y = x² -10x +25
y = x² +6x +5
y = 9x² + 5

Intersecciones con el eje x




Corresponde a las soluciones de la ecuación cuadrática
ax² + bx + c = 0 (cuando y toma el valor cero la gráfica está sobre el eje x)
Los tipos desoluciones dependen del signo del discriminante
∆ = b² - 4ac.
–

Si ∆ > 0 entonces las soluciones son reales y distintas y por o tanto hay dos
intersecciones con el eje x; estos son los puntos x1 y x2 .

–

Si ∆ = 0 entonces las soluciones son reales e iguales y por o tanto hay una sola
intersección con el eje x. Aquí x1 = x2.

–

Si ∆ < 0 entonces las soluciones no son reales y por o tanto nohay
intersecciones con el eje x.

Intersección con el eje y


La parábola asociada a la función ax² + x + c = 0,
siempre intersecta al eje de las ordenadas ( eje y).

La intersección
de la parábola con
el eje Y se obtiene
haciendo x = 0 y
corresponde a y =
c.


Actividad
 Determine

el número de intersecciones con
el eje x, y el punto de intersección con el eje
y, de las siguientes gráficas:
y =2x² + 3x -1
y = - 3x² - x + 2
y = -x² + 6x - 9

Eje de simetría
 El

eje de simetría
de una parábola es
una recta que divide
a esta curva en dos
“ramas”
congruentes.
 La recta x = -b / 2a
es el eje de la
parábola

y =ax² + bx + c

Actividad
 Determine

el eje de simetría, de la gráfica de
las funciones:
y = 2x² + 3x -1
y = - 3x² - x + 2
y = -x² + 6x - 9

Vértice de la parábola


El vérticede la parábola es el
punto de intersección de esta
con su eje de simetría.



Las coordenadas del vértice
son:
 b  b 2  4ac  
 
V  
, 

 2a  4a  

Máximos y Mínimos


El valor mínimo de una
parábola que se abre
hacia arriba corresponde
al vértice.

El

valor máximo de una
parábola que se abre hacia
abajo es el vértice.

Actividad
 Encuentre

la coordenada del puntomáximo
o mínimo de cada función:
y = x² -8x -9
y = -4x² +12

Intervalo de crecimiento y decrecimiento
parábola con concavidad positiva


Dado la función ax² + bx + c = 0, en que h es la abscisa del vértice
de la parábola, se tiene que:
–

Si a > 0 entonces

{

y = f(x)

Decreciente en el intervalo   , h
Creciente en el intervalo  h, 

Intervalos de crecimiento y decrecimiento
parábolaconcavidad negativa.

–Si

a < 0 entonces

{

y = f(x)

Creciente en el intervalo   , h 

Decreciente en el intervalo  h, 

Actividad
 Determine

para cada función los intervalos
de crecimiento y decrecimiento:
y = 2x² +5x - 6
Y = -x² + 5x - 6

Dominio y Recorrido




El dominio de una función cuadrática es todos los
reales
El recorrido depende de la concavidad:
–

–


 b 2  4ac 
...