12 tstokes_gauss

Teoremas de Stokes y Gauss
I SABEL M ARRERO
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de La Laguna
✐♠❛rr❡r♦❅✉❧❧✳❡s

Índice
1. Introducción

1

1.1. El rotacional y la divergencia de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2. Teorema de Stokes

2

2.1.Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.2. Interpretación física del rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3. Teorema de la divergencia o de Gauss

7

3.1. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3.2. Interpretación física de ladivergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

C ÁLCULO I NTEGRAL V ECTORIAL

OCW-ULL 2011/12

T EOREMAS DE S TOKES Y G AUSS

1.

1/11

Introducción
Nos ocupamos ahora de dos generalizaciones del segundo teorema fundamental del cálculo a integrales de

superficie: el teorema de Stokes y el teorema de Gauss. Éstos, junto con el teorema de Green, constituyen los
tresteoremas fundamentales del cálculo integral vectorial.
Los teoremas de Stokes y Gauss proporcionarán la interpretación física de los conceptos de rotacional y
divergencia, con cuya definición y propiedades comenzamos esta sección.

1.1.

El rotacional y la divergencia de un campo vectorial

Sea ∇ el operador
∇=

∂
∂
∂
i+
j + k.
∂x
∂y
∂z

Recuérdese que el gradiente de un campo escalar ϕ ∈ C1 viene dadopor

∇ϕ =

∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
i+
j+
k,
∂x
∂y
∂z

expresión que puede interpretarse como una multiplicación formal del operador ∇ por el campo escalar ϕ.
Si F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k es un campo vectorial de clase C1 , el rotacional de F es
otro campo vectorial definido mediante la ecuación

rot F =

∂R ∂Q
∂P ∂R
i+
−
−
∂y
∂z
∂z ∂x

j+

∂Q ∂P
k,
−
∂x
∂y

que formalmente escribimosrot F =

i
∂
∂x

j
∂
∂y

k
∂
∂z

P

Q

R

= ∇ × F.

Si un campo vectorial F representa el flujo de un fluido entonces rot F = 0 significa físicamente que el fluido
no tiene rotaciones, o es irrotacional: esto es, no genera remolinos. La justificación de esta idea se verá más
adelante, como consecuencia del teorema de Stokes; sin embargo, podemos decir informalmente que si el
campo es irrotacionalentonces una pequeña rueda con aspas colocada en el fluido se moverá con éste, pero no
girará alrededor de su propio eje.
Similarmente, considerando el producto escalar ∇ · F de un modo puramente formal obtenemos la expreC ÁLCULO I NTEGRAL V ECTORIAL

OCW-ULL 2011/12

2/11

I. M ARRERO

sión que define un campo escalar llamado divergencia de F, div F:

div F =

∂P ∂Q ∂R
+
+
= ∇ · F.
∂x
∂y
∂z

Elsignificado físico de la divergencia se presentará en conexión con el teorema de Gauss, pero podemos
adelantar que si imaginamos F como el campo de velocidad de un fluido entonces div F representa la tasa de
expansión por unidad de volumen del fluido. Una divergencia negativa significa que el fluido se comprime.

1.2.

Propiedades

Para todo campo escalar ϕ y cualesquiera campos vectoriales F, Gsuficientemente regulares, se tiene:
Linealidad: Si a, b son constantes,
(i) div (a F + b G) = a div F + b div G,
(ii) rot (a F + b G) = a rot F + b rot G.
Acción sobre un producto:
(i) div (ϕF) = ϕ div F + ∇ϕ · F, ó bien ∇ · (ϕF) = ϕ ∇ · F + ∇ϕ · F,
(ii) rot (ϕF) = ϕ rot F + ∇ϕ × F, ó bien ∇ × (ϕF) = ϕ ∇ × F + ∇ϕ × F.
Divergencia y rotacional de un gradiente:
(i) div (∇ϕ) = ∆ϕ, donde ∆ es eloperador laplaciano ∆ = ∂ 2 /∂ x2 + ∂ 2 /∂ y2 + ∂ 2 /∂ z2 .
(ii) rot (∇ϕ) = 0.
Divergencia y rotacional de un rotacional:
(i) div (rot F) = 0.
(ii) rot (rot F) = ∇(div F) − ∆F, donde si F = Pi + Q j + Rk entonces ∆F = (∆P)i + (∆Q) j + (∆R)k.
La demostración de estas propiedades queda al cuidado del lector.

2.

Teorema de Stokes
El teorema de Stokes es una extensión directa del teorema de Green, en...