12

TRILCE

Capítulo

12

MATRICES - DETERMINANTES

MATRICES

Matrices Especiales

Definición :
Una matriz es un arreglo rectangular de elementos
dispuestos en filas y columnas.
Para representar a una matriz, se utiliza letras
mayúsculas.

1.

*
2.

Ejemplos :

*

*

2
3 1
A

 0  1 2

Fila

c
o
l
u
m
n
a

3.

 1
0 3


B 5
1 1
 4  2 0



A es una matriz de orden 2  3
B es unamatriz de orden 3  3

Forma General de una Matriz de "m" filas y "n"
Columnas :

 a11 a12

 a 21 a 22
A   a 31

 
a
a m2
 m1

a13  a1n 

a 23  a 2n 
a 3n 


  a mn 
 m n

7

10]

2
 
4
A 
5 
 
7 

1
2
3
A

4  2  1

M. Cuadrada :
Es aquella matriz, donde el número de filas y el número
de columnas son iguales.
*

5.

5

M. Rectangular :
Es aquella matriz,donde el número de filas y el número
de columnas son diferentes.
*

4.

[1

M.Columna :
Es aquella matriz que tiene una sola columna.

*

Orden de una Matriz
Viene dada por la representación m  n , donde "m"
es el número de filas y "n" el número de columnas de la
matriz. Para los ejemplos citados anteriormente, tenemos :
*
*

M. Fila :
Es aquella matriz que tiene una sola fila.

2 4 
A

17 

M. Nula :
Es aquella matriz, donde todos sus elementos son
iguales a cero.
*

0 0 0 
A

0 0 0 

*

0 0 0 


A  0 0 0 
0 0 0 



Igualdad de Matrices :
Donde : a ij es el elemento genérico, ubicado en la fila "i",
columna "j".
En forma abreviada se tendrá :

A  [a ij ] m n

i = 1, 2, 3, ......, m = 1; m

Dadas las Matrices :

A  [a ij ]m n  B  [bij ]m n
si estas soniguales, es decir : A = B, se verifican
simultáneamente las condiciones :

j = 1, 2, 3, ......, n = 1; n
117

Álgebra
I.
II.

A y B son de igual orden : m  n .
Los elementos correspondientes son iguales :

se define :
A . B  [ A11.b11  a12.b 21  a13  b31  ..  a1 n .bn1 ]

a ij  bij ;  i ; j
*

Multipliquemos A por B, donde :

Operaciones con Matrices
I.

2
 
A  [2 1 3]  B  4 
6
 

Adición : Dadas las matrices de igual orden

A  [a ij ]m n  B  [bij ]m n
se define :
A  B  [aij ]m n  [bij ]m n  [aij  bij ]m n

*

Hallar la matriz A + B, a partir de :

2
1 3
 1 2 5
A
  B

0

1
2


  1 4 3
2
1 3  1 2 5
AB 


0

1 2   1 4 3

(2  1) (1  2) (3  5)
AB  

(0  1) (1  4) (2  3)
 3 3 8
 AB  

 1 3 5 
II.

2

A.B  [2 1 3] . 4 
6 
 

Multiplicación :
II.1 Multiplicación de un escalar por una matriz.

Sean : A  [a ]
 k  R , se define:
ij m n

K.A  K .[a ij ]m n  [K .a ij ]m n
* Multipliquemos por 2 a la matriz.
 2 1 4
 2 1 4
A
  2.A  2 . 


1
3
2


  1 3 2

 4 2 8
 2A  

 2 6 4 

A . B = [(2).(2)+(1).(4)+(3).(6)]
A . B = [4+4+18]  A . B = [26]
III.3Multiplicación de las Matrices

Dadas las matrices A y B, existe el producto
matricial de A por B denotado por A.B, si se verifica lo siguiente :
# de columnas de A = # de filas de B

luego :
Am  p . Bp 

n

 C m n

* Veamos un ejemplo :

 2  1
2  2
5
A
  B

1
2  3
3
1
¿Existe A . B?, veamos :
A tiene orden 2  2  # col = 2
B tiene orden 2  3  # fil = 2
como : # col de A = # fil de B seafirma que si existe
A . B, cuyo orden es de 2  3.
 2  1  2  2 5 
A .B  
.

1 1 2 3
3

Ahora se multiplica de forma similar que el caso (II.2).
II.2 Multiplicación de una matriz fila por una matriz

columna.
Sean : A  [a11 a12 a13 .... a1n ]

 b11 


 b 21 


B   b 31 
  


b 
n
1



118

(2).(2)  (1).(1) (2).(2)  (1).(2) (2)(5)  (1)(3)
A.B  
(3)(2)  (1).(2)
(3)(5)  (1)(3) 
 (3).(2)  (1)(1)

4  1  4  2 10  3
A.B  

6  1  6  2 15  3

3  6 13
 A.B  

7  4 12

¿Existe B.A?, veamos :
# col de B = 3 y # fil de A = 2 como # col de B  #
fil de A, se podrá afirmar que B.A no existe.

En General : El producto matricial no es conmutativo.

Propiedades :

Teoremas :
Sean A, B y C matrices para las cuales se...