16596117 FRACCIONES
Páginas: 13 (3042 palabras)
Publicado: 29 de mayo de 2015
Fracciones
UNIDAD 3
FRACCIONES
DEFINICIÓN DE FRACCIONES
Fracción =
P
Numerador
=
Q
Denominador
Q≠ 0
En álgebra P y Q pueden ser multinomios o polinomios de cualquier orden.
En álgebra las fracciones se presentan tan frecuentemente como en aritmética y, como en
ésta, se pueden combinar mediante adición, sustracción, multiplicación y división.
Ejemplo:
5 x2 + 1
1
+
,
7x
x + 4
3 x2 + 4 y - 5,
2x + y
a + 3b
a2 + b2
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LAS FRACCIONES
Si cada miembro de una fracción se multiplica o se divide por una misma cantidad,
diferente de cero, el valor de la fracción no se altera; esto es:
P
PxR
=
Q
QxR
o
P
P
= R
Q
Q
R
donde P, Q y R pueden ser polinomios, monomios o una cantidad cualquiera.
Operaciones entre fracciones.
42
Fracciones
1.- Producto de fracciones
a cac
⋅ =
si b , d ≠ 0
b d bd
2.- División de fracciones
a c ad
÷ =
si b , c ≠ 0
b d bc
3.- Suma de fracciones
a c a+c
+ =
b b
b
mismo denominador
a c ad + cc
+ =
diferente denominador
b d
bd
De donde se pueden obtener las siguientes consecuencias:
Consecuencia 1: Como
n
= 1
n
n≠o
entonces:
a
a
a n
an
=
x1 =
x
=
b
b
b n
bn
Así
a
an
y
son fracciones equivalentes.
b
bn
Consecuencia 2: Si p ≠o
entonces:
a
=
b
1
1
p
p
a
=
b
a
b
p
p
=
ap
bp
Ejemplo: Obtenga fracciones equivalentes a las fracciones dadas.
43
Fracciones
1.-
2.-
3.-
3
4
=
3x5
15
=
4x5
20
15
15 ÷ 5
3
=
=
20
20 ÷ 5
4
=
8 ÷ 2
4
=
10 ÷ 2
5
4
4x2
8
=
=
5
5x2
10
8
10
a 3 b2
a4 b
=
4.-
Convierta
a 3 b2 ÷ a 3 b
a4 b ÷ a3 b
=
b
a
b
b x a3 b
a3 b2
=
=
a
a x a3 b
a4 b
x + 3
en una fracción cuyodenominador sea x 2 - 1
x -1
Por la consecuencia 1:
x + 3
x + 3 x + 1
=
⋅
x - 1
x - 1
x + 1
=
x2 + 4 x + 3
x2 + 1
Otras consecuencias:
Consecuencia 3: Si b ≠ o
a
a x (- 1)
-a
=
=
=
b
b x (- 1)
-b
a
b
Consecuencia 4: Si b ≠ o
44
Fracciones
-a
-1xa
-1 a
a
-a
a
=
=
x
= - 1x
=
=
b
1xb
1
b
b
b
-b
Regla de los signos de las fracciones.
En una fracción se pueden cambiar simultáneamente los signos delnumerador y del
denominador sin alterar el valor de la fracción.
Sin embargo, si se cambia el signo del numerador o del denominador, se debe cambiar
entonces el signo que precede a la fracción.
Ejemplo: Represente las siguientes fracciones como otra fracción empleando la regla
de los signos.
1.-
2.-
3.-
2 - a
- (a - 2)
2 - a
a- 2
=
=
=
3 - a
3 - a
- (a - 3)
a - 3
(a - b) (a + b)
2
2
(a - z )=
(a + b) (a + b)
(a
2
2
+ z )
=
- (a + b) (a + b)
(a
2
2
- z )
=
- (a - b) (a + b)
(a 2 + z 2 )
b - a
- (a - b)
- (b - a)
a- b
=
=
=
d - c
c - d
c - d
c - d
Reducción a la mínima expresión o simplificación de fracciones.
La mínima expresión de una fracción es aquella en la cual el numerador y el denominador
no tienen factores comunes.
Para reducir una fracción a su mínima expresiónse factorizan tanto el numerador como el
denominador y luego se divide cada uno de ellos entre cada factor que le sea común.
Ejemplo: Reduzca a su mínima expresión las siguientes fracciones.
1.-
x3 + x2 - 6 x
3
2
x - 3x + 2x
=
x (x2 + x - 6)
2
x (x - 3 x + 2)
=
x (x - 2) (x + 3)
x (x - 2) (x - 1)
45
Fracciones
=
2.-
3.-
9 x - 18
4x - 8
=
x + 3
x - 1
9 (x - 2)
9
=
4 (x - 2)
4
3 ab 3 - 81 a
=
12 a 2 b 2 - 6 a 2 b - 90 a 2
6 a 2 ( 2 b2 - b - 15)
a5 - a 4 c - a b4 + b4 c
a 4 - a 3 c - a 2 b2 + a b2 c
a 3 (a - c) - a b 2 (a - c)
(a - c) (a 4 - b4 )
(a − c )(a3 - a b 2 )
=
a 3 - b3
a 2 - b2
=
2 a ( 2 b2 - b - 15)
a 4 (a - c) - b4 (a - c)
=
=
5.-
b3 - 27
=
(b - 3) (b2 + 3 a b + 9)
b2 + 3 a b + 9
=
2 a ( 2 b + 5 ) ( b - 3)
2 a (2 b + 5)
=
4.-
3 a (b3 - 27)
=(a 2 - b2 ) (a 2 + b2 )
a (a 2 - b2 )
(a 4 - b4 )
( a3 - a b 2 )
(a 2 + b2 )
=
a
(a - b) (a2 + a b + b2 )
a 2 + a b + b2
=
(a - b) (a + b)
a + b
OPERACIONES CON FRACCIONES
Multiplicación de fracciones
El resultado de esta operación es otra fracción cuyo numerador es el producto de los
numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.
46
Fracciones
a c
ac
x
=
b d
bd...
UNIDAD 3
FRACCIONES
DEFINICIÓN DE FRACCIONES
Fracción =
P
Numerador
=
Q
Denominador
Q≠ 0
En álgebra P y Q pueden ser multinomios o polinomios de cualquier orden.
En álgebra las fracciones se presentan tan frecuentemente como en aritmética y, como en
ésta, se pueden combinar mediante adición, sustracción, multiplicación y división.
Ejemplo:
5 x2 + 1
1
+
,
7x
x + 4
3 x2 + 4 y - 5,
2x + y
a + 3b
a2 + b2
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LAS FRACCIONES
Si cada miembro de una fracción se multiplica o se divide por una misma cantidad,
diferente de cero, el valor de la fracción no se altera; esto es:
P
PxR
=
Q
QxR
o
P
P
= R
Q
Q
R
donde P, Q y R pueden ser polinomios, monomios o una cantidad cualquiera.
Operaciones entre fracciones.
42
Fracciones
1.- Producto de fracciones
a cac
⋅ =
si b , d ≠ 0
b d bd
2.- División de fracciones
a c ad
÷ =
si b , c ≠ 0
b d bc
3.- Suma de fracciones
a c a+c
+ =
b b
b
mismo denominador
a c ad + cc
+ =
diferente denominador
b d
bd
De donde se pueden obtener las siguientes consecuencias:
Consecuencia 1: Como
n
= 1
n
n≠o
entonces:
a
a
a n
an
=
x1 =
x
=
b
b
b n
bn
Así
a
an
y
son fracciones equivalentes.
b
bn
Consecuencia 2: Si p ≠o
entonces:
a
=
b
1
1
p
p
a
=
b
a
b
p
p
=
ap
bp
Ejemplo: Obtenga fracciones equivalentes a las fracciones dadas.
43
Fracciones
1.-
2.-
3.-
3
4
=
3x5
15
=
4x5
20
15
15 ÷ 5
3
=
=
20
20 ÷ 5
4
=
8 ÷ 2
4
=
10 ÷ 2
5
4
4x2
8
=
=
5
5x2
10
8
10
a 3 b2
a4 b
=
4.-
Convierta
a 3 b2 ÷ a 3 b
a4 b ÷ a3 b
=
b
a
b
b x a3 b
a3 b2
=
=
a
a x a3 b
a4 b
x + 3
en una fracción cuyodenominador sea x 2 - 1
x -1
Por la consecuencia 1:
x + 3
x + 3 x + 1
=
⋅
x - 1
x - 1
x + 1
=
x2 + 4 x + 3
x2 + 1
Otras consecuencias:
Consecuencia 3: Si b ≠ o
a
a x (- 1)
-a
=
=
=
b
b x (- 1)
-b
a
b
Consecuencia 4: Si b ≠ o
44
Fracciones
-a
-1xa
-1 a
a
-a
a
=
=
x
= - 1x
=
=
b
1xb
1
b
b
b
-b
Regla de los signos de las fracciones.
En una fracción se pueden cambiar simultáneamente los signos delnumerador y del
denominador sin alterar el valor de la fracción.
Sin embargo, si se cambia el signo del numerador o del denominador, se debe cambiar
entonces el signo que precede a la fracción.
Ejemplo: Represente las siguientes fracciones como otra fracción empleando la regla
de los signos.
1.-
2.-
3.-
2 - a
- (a - 2)
2 - a
a- 2
=
=
=
3 - a
3 - a
- (a - 3)
a - 3
(a - b) (a + b)
2
2
(a - z )=
(a + b) (a + b)
(a
2
2
+ z )
=
- (a + b) (a + b)
(a
2
2
- z )
=
- (a - b) (a + b)
(a 2 + z 2 )
b - a
- (a - b)
- (b - a)
a- b
=
=
=
d - c
c - d
c - d
c - d
Reducción a la mínima expresión o simplificación de fracciones.
La mínima expresión de una fracción es aquella en la cual el numerador y el denominador
no tienen factores comunes.
Para reducir una fracción a su mínima expresiónse factorizan tanto el numerador como el
denominador y luego se divide cada uno de ellos entre cada factor que le sea común.
Ejemplo: Reduzca a su mínima expresión las siguientes fracciones.
1.-
x3 + x2 - 6 x
3
2
x - 3x + 2x
=
x (x2 + x - 6)
2
x (x - 3 x + 2)
=
x (x - 2) (x + 3)
x (x - 2) (x - 1)
45
Fracciones
=
2.-
3.-
9 x - 18
4x - 8
=
x + 3
x - 1
9 (x - 2)
9
=
4 (x - 2)
4
3 ab 3 - 81 a
=
12 a 2 b 2 - 6 a 2 b - 90 a 2
6 a 2 ( 2 b2 - b - 15)
a5 - a 4 c - a b4 + b4 c
a 4 - a 3 c - a 2 b2 + a b2 c
a 3 (a - c) - a b 2 (a - c)
(a - c) (a 4 - b4 )
(a − c )(a3 - a b 2 )
=
a 3 - b3
a 2 - b2
=
2 a ( 2 b2 - b - 15)
a 4 (a - c) - b4 (a - c)
=
=
5.-
b3 - 27
=
(b - 3) (b2 + 3 a b + 9)
b2 + 3 a b + 9
=
2 a ( 2 b + 5 ) ( b - 3)
2 a (2 b + 5)
=
4.-
3 a (b3 - 27)
=(a 2 - b2 ) (a 2 + b2 )
a (a 2 - b2 )
(a 4 - b4 )
( a3 - a b 2 )
(a 2 + b2 )
=
a
(a - b) (a2 + a b + b2 )
a 2 + a b + b2
=
(a - b) (a + b)
a + b
OPERACIONES CON FRACCIONES
Multiplicación de fracciones
El resultado de esta operación es otra fracción cuyo numerador es el producto de los
numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.
46
Fracciones
a c
ac
x
=
b d
bd...
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