2_6 OLD Limites

LÍMITES
CÁLCULO EN UNA VARIABLE

La noción de “acercarse cada vez más a algo,
pero sin tocarlo”, es muy importante en
matemáticas y tiene que ver con el concepto de
límite, que es fundamental para el Cálculo.
Básicamente, se considera que una variable “se
acerca al máximo” a un valor específico, y se
examina el efecto que esto tiene sobre los
valores de la función.

Por ejemplo, considérese lafunción
𝑥3 − 1
𝑓 𝑥 =
𝑥−1
Aunque no está definida en 𝑥 = 1, puede
interesar la determinación de qué sucede con lo
valores de la función conforme 𝑥 se acerca
mucho a 1. En la Tabla se presentan algunos
valores de 𝑥 que son ligeramente inferiores a 1,
y otros que son ligeramente superiores a 1, con
los correspondientes valores de Ia función.

Obsérvese que los valores están cercanos a un
número, el3. De hecho, conforme 𝑥 toma
valores más cercanos a 1, sin importar si 𝑥 se
aproxima a 1 desde la izquierda (𝑥 < 1) , o
desde la derecha (𝑥 > 1), los correspondientes
valores de 𝑓(𝑥) se vuelven cada vez más
cercanos a 3. Esto es también evidente en la
gráfica 𝑓 que aparece en la Figura.

Obsérvese que, aunque la función no está
definida en 𝑥 = 1, los valores de la función se
aproximan cada vezmás a 3 conforme 𝑥 “se
acerca cada vez más” a 1 (o tiende hacia 1). Para
expresar esto se dice que el límite de 𝑓(𝑥)
conforme 𝑥 se acerca a 1, es 3, y se escribe

𝑥3 − 1
lim
=3
𝑥→1 𝑥 − 1

Se puede hacer que 𝑓(𝑥) esté tan cerca de 3
como se desee, haciendo que 𝑥 se aproxime lo
suficiente a 1, pero sin llegar a ser igual.

También puede considerarse el límite de una
función conforme 𝑥 tiende aalgún número del
dominio. Por ejemplo, se examina el límite de
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 conforme 𝑥 se aproxima (o
tiende) a 2 (𝑥 → 2):
lim (𝑥 + 3)

𝑥→2

Evidentemente, si 𝑥 está cerca de 2 (pero no es
igual a 2), entonces 𝑥 + 3 está cerca de 5. Esto
resulta también obvio en la tabla y en la gráfica
que aparecen en la Figura. Por ello,
lim (𝑥 + 3) = 5

𝑥→2

En general, para cualquier función 𝑓, se tiene lasiguiente definición de límite.
DEFINICION:
El límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es el
número 𝐿, que se escribe
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑥→𝑎

si 𝑓(𝑥) está arbitrariamente cerca de 𝐿 para
toda 𝑥 suficientemente cercana a 𝑎, pero no
igual a 𝑎.

Es importante recordar que cuando se
determina un límite, lo importante no es lo que
le sucede a 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 es igual a 𝑎, sino sólo
lo que ocurre cuando 𝑥 está cerca de𝑎. Se
destaca en que el límite es independiente del
sentido en que 𝑥 se aproxima a 𝑎. Es decir el
límite debe ser el mismo independientemente
de si 𝑥 tiende a 𝑎 desde la izquierda o desde la
derecha (para 𝑥 < 𝑎 𝑜 𝑥 > 𝑎, respectivamente).

Para determinar límites no siempre es deseable
calcular valores de la función o trazar una
gráfica. De manera alternativa, existen diversas
propiedades de loslímites que es posible
utilizar. Enseguida se enuncian algunas
propiedades de los límites que pueden parecerle
muy razonables.

1. Si 𝑓(𝑥) = 𝑐 es una función constante,
entonces
lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑐 = 𝑐
𝑥→𝑎

EJEMPLO
lim 7 = 7;

𝑥→2

lim 7 = 7.

𝑥→−5

𝑥→𝑎

2. lim 𝑥 𝑛 = 𝑎𝑛 , para cualquier entero positivo 𝑛.
𝑥→𝑎

EJEMPLO
(a) lim 𝑥 2 = 62 = 36.
𝑥→6

(b) lim 𝑡 4 = (−2)2 = 16.
𝑡→−2

3. Sea lim 𝑓(𝑥), ylim 𝑔(𝑥), entonces
𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

lim 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥

𝑥→𝑎

= lim 𝑓(𝑥) ± lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

Es decir, el límite de una suma o diferencia es la
suma o diferencia de los límites.

EJEMPLO
(a) lim 𝑥 2 + 𝑥 = lim 𝑥 2 + lim 𝑥 = 22 + 2 = 6
𝑥→2

𝑥→2

𝑥→2

(b) lim (𝑞 3 − 𝑞 + 1) = lim 𝑞 3 − lim 𝑞 +
𝑞→−1

lim 1 = −1

𝑞→−1

𝑞→−1

3

− −1 + 1 = 1

𝑞→−1

4. lim 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥
𝑥→𝑎

= lim 𝑓(𝑥) ∙ lim 𝑔 𝑥
𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

Es decir, ellímite de un producto es el producto
de los límites
EJEMPLO
lim 𝑥 + 1 𝑥 − 3 =
𝑥→2

= lim 𝑥 + 1 ∙ lim 𝑥 − 3
𝑥→2

𝑥→2

= lim 𝑥 + lim 1 ∙ lim 𝑥 − lim 3
𝑥→2

𝑥→2

𝑥→2

𝑥→2

= (2 + 1) ∙ (2 − 3) = 3(−1) = −3

5. lim 𝑐𝑓 𝑥
𝑥→𝑎

= 𝑐 ∙ lim 𝑓 𝑥 , en donde 𝑐 es una
𝑥→𝑎

constante.
Es decir, el límite de una constante que
multiplica a una función, es la constante
multiplicada por el límite de la función....