2 Concepto De Relaci N 2014 1

UNIDAD: FUNCIONES

1

Y
(litros de encina)

Imaginémonos que
se tiene un auto
que da 14 km por
litro de bencina

X
(distancia en Km)

0
0,5
1
1,5

14

2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
2

Imaginémonos que
se tiene un auto
que da 14 km por
litro de bencina

Y
(litros de encina)

X
(distancia en Km)

0

0

0,5
1
1,5

7
14
21

E
D
2 S
A
E
L
R2,5
B
O
3
A
T AL 3,5
V
4
4,5
5

28
35
42
49
56
63
70
3

Imaginémonosque se tiene un auto
que da 14 km por litro de bencina

0
0,5

E
D

A
1
M
S
A
A
R
1,5
H
G
C
A
E
I
2
D FL

0
7
14
21
28

2,5

35

3

42
4

F= {(0,0);(0.5,7);(1,14);(1.5,21);(2,28);(2.5,35);(3,42)……

O
T
N
U S
S
J
E
O
N
R
D
O
C PA NA
E
D
R
O
5

2 8

2 1

1 4

7

R
G

I
F
Á

S
O
C

6

PAR ORDENADO
Un par ordenado es una pareja de objetos de tipo (x, y).

(4, 5), (α, β)
Los elementos que forman unpar ordenado son
llamados coordenadas o componentes. En el caso del
par (4, 5), el número 4 se llama primera coordenada
o primera componente y el número 5 se llama
segunda coordenada o segunda componente.
7

RELACIÓN
Una relación es un conjunto de pares ordenados.
Si R es una relación, xRy denota el hecho que el par
ordenado (x, y) esta en R;
o que x está relacionado con y según R;
xRy ⇐⇒ (x, y)∈ R,
o sea, dos objetos están relacionados si la pareja
formada por ellos pertenece a la relación.

8

RELACIÓN (EJEMPLO)
Si A denota los habitantes de Medellín, B = N. Existen
diversas relaciones entre A y B.
La relación R que asocia a cada miembro de A su
número de identificación, de este modo, si los
individuos x, y, z tienen números de identificación
194717, 205678, 9560740, respectivamente yel
individuo w no tiene número de identificación se tiene
que (x, 194717), (y, 205678), (z, 9560740) ∈ R.

9

RELACIÓN
En un diagrama esta relación se ilustra por:

10

El conjunto
R = {(a, α), (b, β), (c, χ), (d, δ), (e, ǫ)}.

Define una relación entre nuestro alfabeto y el alfabeto griego.

OTROS EJEMPLOS:
- Colección de pares ordenados de números reales cuya
primera componente excede a susegunda componente
en 1
R = {(x, y) ; y = x − 1}.
- En el conjunto D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, el conjunto
R = {(n, n²) ; n ∈ D} = {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}
Define una relación
11

RELACIÓN DE IDENTIDAD:
Dado un conjunto A, La relación identidad en A se
denota y se define por:

IdA = {(x, x) ; x Є A}

Si A = {a, b, c}
gráficamente se tiene:

12

DOMINIO Y RECORRIDO (RANGO):
Dada unarelación R,
Si (x, y) ∈ R, decimos que y es imagen de x por R, o
también que x es pre imagen de y por R.
El dominio de R es el conjunto formado por todas las
primeras componentes de las parejas de R.
Se denota por Dom(R). Más específicamente,
Dom(R) = {x : existe y con (x, y) ∈ R};
El rango o la imagen de la relación R es el conjunto
formado por todas las segundas componentes de las
parejas deR.
Se denota por Ran(R). Más específicamente,
Ran(R) = {y : existe x con (x, y) ∈ R}.

13

DOMINIO Y RECORRIDO

EJEMPLOS

Para la relación R = {(a, α), (b, β), (c, χ), (d, δ), (e, ǫ)}
Dom(R) = {

},

Ran(R) = {

}.

En el conjunto D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, la relación
R = {(n, n²) : n ∈ D} = {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}
Dom(R) = {

},

Ran(R) = {

}.
14

RELACIÓN INVERSA:
Invertiruna relación es cambiar el orden de las
coordenadas de sus elementos

DEFINICIÓN:
Dada una relación R, la relación Inversa de R se define
como siendo la relación que se obtiene invirtiendo las
componentes de todas las parejas de R y se denota por
R¯¹.
Más específicamente,
R¯¹ = {(y, x) : (x, y) ∈ R}
Por lo tanto,
(y, x) ∈ R¯¹ ⇐⇒ (x, y) ∈ R.
15

RELACIÓN INVERSA:

EJEMPLOS

1) Para la relación R ={(a,α), (b, β), (c, χ), (d, δ), (e, ǫ) },
R¯¹ = {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), (
2) Para la relación R = {(x, y) : y = x + 2},

, )}.

R ¯¹ = {(y, x) : x = y − 2}.
3) Dados conjuntos A = {1, 2, 3, 4},B = {a, b, c} y la
siguiente relación
R = {(1, a), (2, a), (2, c), (3, b), (4, b), (4, c) }.
R¯¹ = {(

, ), (

, ), (

4) Dada una relación R
Ran(R) = Dom(R ¯¹)

, ), (
,

, ), (

, ),(

, )}....