2_Determinantes_COM F

Álgebra y Geometría Analítica

Tema 2: Determinantes
Grossman : Cap 2 – Pag 172-216

Estudiaremos: Si A es nxn
•Definiciones y propiedades sobre |A|
•Determinantes e inversas

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Determinantes de matrices 2x2 y 3x3:
A = (aij) , A es de orden 2x2
• |A| = a11 a22 – a21 a12
A = (aij) , A es de orden 3x3
• |A| se puede calcular utilizando la regla de
Sarrus.
O por eldesarrollo de una línea ( ej: 1º fila)
• |A| = a11 (a22 a33  a23 a32)  a12 (a21 a33  a23 a31) +
a13 (a21 a32  a22 a31)

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Determinantes de matrices nxn
Calcularemos el determinante de A (nxn) por cofactores
desarrollándolo a lo largo de los elementos de la primera
fila: a11, a12, a13, ...., a1n.
• Expresamos las n matrices M1j suprimiendo la fila 1 y la
columna j deA. M1j se denomina “menor 1j de A”
• Calculamos los determinantes | M1j |
• Calculamos el Cofactor 1j de A, A1j = (-1)1+j| M1j |
• Definimos |A| =  a1j A1j donde j = 1, 2, ....., n.
• |A| se puede desarrollar a lo largo de cualquier línea
(Teorema 5)

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Matrices nxn : Triangulares - Diagonales Escalares
• T es una matriz triangular superior si tij = 0 si i>j.
• T esuna matriz triangular inferior si tij = 0 si i • D es una matriz diagonal si los elementos que están fuera
de la diagonal son nulos. D = ( dij) es diagonal si dij = 0 si i  j.
• Una matriz diagonal es triangular superior e inferior.
• E es una matriz escalar si los elementos que están fuera de
la diagonal son nulos y los elementos de la diagonal son
constantes. D = (dij) es escalar si dij = 0 sii  j y dij = k si i = j ,
con k  R (reales).

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Propiedades:
TEOREMA 1: Sea T = (tij) una matriz triangular
superior (o inferior) nxn entonces el determinante
de T es igual al producto de los elementos de la
diagonal principal. |T| = t11·t22·……·tnn
TEOREMA 2: Sea T una matriz triangular superior
(o inferior) nxn entonces T es invertible sí y sólo si
|T|  0 sí ysólo si tii  0 para todo i.

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Propiedades
|A.B| = |A| .|B|
|At| = |A|
|c A| = cn |A|
Tener en cuenta que: |A +B|  |A| + |B|
•Si A tiene una fila nula, detA = 0
•Si A tiene dos filas iguales, detA = 0
•Si A tiene filas proporcionales, detA =0

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Ejercicio (Para hacer):
 2  1 0


Sea A=  1 0 0 
1 1 1


Verifica que
det (A2 – 2A+ I) = 0

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Otras propiedades:
• La suma de los elementos de una fila por
los cofactores de una fila paralela es 0,
esto es ai1Ak1 + ai2 Ak2 + ….+ ain Akn = 0
• Una suma muy particular de determinantes:

2
1

5
0

1 3

1 2  2 1 2 3 1
1 1 3
1 1 3 1
0

1

4

0

1 1

0

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Propiedades (Importante)
¿Cómo afectan a los determinantes lasoperaciones de renglón realizadas en A?
• Ri  Rj
det A cambia de signo
• Ri  c Ri, c  0

det A se multiplica por c

• Ri  Ri+ cRj

det A no cambia

•¿Cómo se aplican para el cálculo de detA?

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Determinante 4x4: su cálculo
EJEMPLO 1: Sea A una matriz 4x4. Aplicaremos
operaciones elementales por renglón para calcular
det A, llevándolo a la forma triangular.

detA

2
1

1
0

3
1

1
1

4 0 5 2
0

1 2 3

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Obtenemos un 1 en la posición a11
intercambiando los dos primeros renglones entre sí

2

1

3

1
4

0
0

1
5

0

1 2

1

1

0

1

1

2
1
3
1
1
 ( 1)
4 0 5 2
 2 F1F2
0 1  2  3
3

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Operaciones elementales para obtener ceros en la
primera columna

F2F1(-2)+F2
F3F1(4)+F3

1 0 1

11

0

1

1

0 1
1 1
2 1 3 1
= (-1)
= (-1)
0 0 1 2
4 0 5 2
0 1  2  3
0 1 2 3

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Operación elemental que permite obtener
ceros en la segunda columna
F4 F2(1)+F4

1
= (-1) 0
0
0

0
1

1
1

0
1

1
 2

1
 1 = (-1)
2
 3

1 0

1

1

0 1 1 1
0 0 1 2
0 0

1  4

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Para obtener un 1 en la fila 3 columna 3
F3  F3(-1)
1
=...

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