2_Funciones

2. Funciones de variable compleja

Gary Larson

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Conjuntos de puntos en el plano complejo
Un conjunto S de puntos en el plano complejo es
cualquier colección finita o infinita de puntos en el plano
complejo. Por ejemplo las soluciones de una ecuación
cuadrática, los puntos de una línea, los puntos del interior
de un círculo, etc.
¿Qué lugares geométricos describen las siguientes ecuaciones?

α< Arg z < β
La ecuación Arg z= α define una semirecta infinita de pendiente
α. Entonces la desigualdad anterior define un sector infinito
comprendido entre las semirectas infinitas Arg z= α y Arg z= β.

α < Arg( z − z o ) < β

(...)

2

3

4

Un conjunto de puntos S se llama abierto si cada punto de
S tiene un vecindad constituida enteramente por puntos que
pertenecen a S. Por ejemplo lospuntos del interior de un
círculo o un cuadrado.
El complementario de un conjunto de puntos S es el
conjunto de todos los puntos que no pertenecen a S.
Un conjunto de puntos S se llama cerrado si su
complementario es abierto. Ej.: los puntos sobre y dentro de
una circunferencia o un cuadrado, puesto que sus
complementarios (los puntos exteriores a la circunferencia o
al cuadrado) son abiertos.
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Ladistancia entre dos puntos z y a es |z-a|. De modo que un
círculo C de radio ρ y centrado en a, puede expresarse como:

|z-a| = ρ

y

z

¿C es abierto o cerrado?

ρ

a
y

x

En particular, el círculo de radio unidad
centrado en el origen puede escribirse
como:

|z| = 1

i
x

1
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Los puntos dentro del círculo C vienen representados por:

|z-a| < ρ (un entorno abierto centrado en a).
z

y

B(a, ρ) = {z ∈ C / | z − a |< ρ}

ρ
a

0 < |z-a| < ρ define un entorno punteado
x

y

z

o reducido.

ρ

|z-a| ≤ ρ define un entorno

a

circular cerrado centrado en a.
x

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y

ρ1
a

El anillo abierto de radios ρ1 y ρ2, viene

ρ2

dado por:
x

ρ1 < |z-a| < ρ2

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(1) Determina la región en el plano complejo dada por:

|z-3-i| ≤ 4
Es la región circular cerrada de radio 4
con centro en 3+i.

y

4
3+ix

(2) Determina las regiones: (a) |z|<1; (b) |z| ≤ 1; (c) |z| >1
(a) Círculo unidad abierto (b) Círculo unidad cerrado (c) Exterior del círculo unidad.

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Re(z) ≥ 1 (No es un conjunto abierto).

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11

¿Qué lugar geométrico describe la siguiente ecuación?

| z − 2 | + | z + 2 |= 5
Una elipse de focos en -2 y 2 (suma de distancias a
los focos igual a 5) con semieje mayor igual a 5/2).Ejercicio: ¿Qué representan las
siguientes ecuaciones?

-2

2

(a ) | z − a | + | z − b |= c
(b) | z − a | + | z − b |> c
(c) | z − a | − | z − b |≤ c
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¿Qué lugar geométrico describen las siguientes ecuaciones:

(d ) | z − a | − | z − b |= c
(e) | z − 2 |= Re( z ) + 3
( f ) | z − i |= Im z + 1
Nota: Busca las definiciones de parábola e hipérbola.

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• Un punto interior de un conjunto S es un puntopara el que
podemos encontrar un entorno o vecindad cuyos puntos
pertenecen todos a S. Por ejemplo, el centro de un círculo.
• Un punto frontera de un conjunto S es un punto tal que
todo entorno alrededor de él contiene puntos que pertenecen a
S y que no pertenecen a S. Por ejemplo los puntos que forman
la frontera de un círculo.
• Si un punto no es interior ni frontera de un conjunto de
puntosS, entonces es un punto exterior a S.
• Entonces, si S es abierto no posee puntos frontera, solo
puntos interiores. Si S es cerrado posee también a sus puntos
frontera.
• Algunos conjuntos no son ni abiertos ni cerrados. Contienen
algunos puntos frontera. Por ejemplo un entorno punteado.
• El plano complejo C es abierto y cerrado a la vez. No posee
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puntos frontera.

• Una región es un conjuntoformado por un dominio, más,
quizás, algunos o todos sus puntos frontera (Cuidado:
algunos autores usan región para indicar dominio).
• Un conjunto es acotado si todo punto de S está dentro de
algún círculo |z| = R. En caso contrario es no acotado.
• Un punto de S se dice que es de acumulación si cada
entorno punteado del mismo contiene al menos un punto de S.
Entonces, si S es cerrado contiene...