2004 II C1 Pauta

PAUTA PRIMER CERTAMEN
TERMODINÁMICA
Problema 1 (35 puntos)
Dos resortes con la misma constante (k = 2500 N/m) están colocados en un sistema
cilindro/pistón sin masa (APistón = 0.0013 m2) , siendo la presión atmosférica P0 igual 100
kPa. Cuando el pistón se encuentra en el fondo del cilindro, los dos resortes no ejercen
fuerza sobre el pistón. El primer resorte llega hasta el fondo del cilindro,mientras que el
segundo resorte toca el pistón cuando V = 3×10-4 m3. Inicialmente el pistón se encuentra
en equilibrio mecánico y el cilindro contiene aire (CP = 1 kJ/kgK, M = 29) a 300 K y V
=2×10-4 m3. El aire es calentado lentamente desde una fuente externa hasta alcanzar
una presión de 800 kPa. Determine:
a) La presión y la temperatura del aire cuando el pistón toca el segundo resorte.
b) Latemperatura final del aire.
c) El trabajo total realizado por el aire.
d) El calor aportado al aire.

Aire

SOLUCION:
a) La presión y la temperatura del aire cuando el pistón toca el segundo resorte:
Dado que el proceso de calentamiento ocurre lentamente podemos considerar que es
cuasiestático, luego se cumple que:
Balance de fuerzas en el pistón cuando toca el segundo resorte (Estado 2):
k ⋅ (x −0)
k1 ⋅ (x 2 − 0) + Patm ⋅ A Piston = P2 ⋅ A Piston ⇒ P2 = 1 2
+ Patm
A Piston

 3 × 10−4

− 0
2500 ⋅ 
 0.0013
 + 100000 = 543787 Pa = 543.8 kPa
P2 =
( )
( )
0.0013
Como el sistema es cerrado, la masa del sistema se mantiene constante, luego:
P1 ⋅ V1 P2 ⋅ V2
P ⋅V
543.8 ⋅ 3 × 10−4
244710
=
⇒ T2 = 2 2 T1 =
⋅ 300 =
−4
T1
T2
P1 ⋅ V1
P1 ⋅ 2 × 10
P1
Realizando un balance de fuerzas en la condicióninicial (Estado 1), se tiene:
Termodinámica
Pauta Primer Certamen

Verónica Soto

k1 ⋅ (x1 − 0) + Patm ⋅ A Piston = P1 ⋅ A Piston

⇒ P1 =

k1 ⋅ (x1 − 0)
+ Patm
A Piston

 2 × 10−4

− 0
2500 ⋅ 
 0.0013
 + 100000 = 395858 Pa = 395.9 kPa
P1 =
( )
( )
0.0013
Entonces:
T2 =

P2 ⋅ V2
244710 244710
T1 =
=
= 618.1(K )
P1 ⋅ V1
P1 ( kPa )
395.9

b) La temperatura final del aire.
Realizando un balancede fuerza para la condición final del sistema
k1 ⋅ (x 3 − 0) + k 2 ⋅ (x 3 − x 2 ) + Patm ⋅ A Piston = P3 ⋅ A Piston

⇒ x3 =

A ⋅ (P3 − Patm ) + k 2 x 2
k1 + k 2

Entonces:
3 × 10−4
0.0013 ⋅ ( 800 − 100 ) + 2.5 ⋅
A ⋅ (P3 − Patm ) + k 2 x 2
0.0013 = 0.2974 ( m )
x3 =
=
k1 + k 2
2.5 + 2.5

( )

V3 = A ⋅ x 3 = 0.0013 ⋅ 0.2974 = 3.87 × 10 −4 m3

P3 ⋅ V3 P2 ⋅ V2
P ⋅V
800 ⋅ 3.87 × 10−4
=
⇒ T3 = 3 3 T2=
⋅ 618.1 = 1173 (K )
T3
T2
P2 ⋅ V2
543.8 ⋅ 3 × 10 −4
c) El calor aportado al aire.
Eligiendo como sistema el pistón, se tiene:
∆UPiston =0(T del piston es constante) + ∆ECinetica =0 + ∆EPotencial =0 = Wneto + Qneto

= 0(El calor lo recibe el gas)

Wneto = 0 = WFzas ext. = Wgas + Wresorte 1 + Wresorte 2 + Watm = 0

(

)

Watm = −Patm ( V3 − V1 ) = −100 3.87 × 10−4 − 2 × 10−4 = −0.0187 ( kJ)
WResorte 1 = −

x3 =0.2974

∫

k1 ( x − 0 ) dx = −

x1 = 0.1538

WRe sorte 2 = −

x3 = 0.2974

∫

2.5
0.29742 − 0.15382 ) = −0.081( kJ)
(
2

k1 ( x − 0.2308 ) dx = −

x1 = 0.2308

(

2.5
2
2
( 0.2974 − 0.2308 ) − ( 0.2308 − 0.2308 )
2

= −0.0056 ( kJ)
Termodinámica
Pauta Primer Certamen

Verónica Soto

)

Luego:

Wgas = − ( Wresorte 1 + Wresorte 2 + Watm ) = 0.105 ( kJ)

(El resultado es positivo porque el sistema elegido es el pistón)
d) El trabajo total realizado por el aire.
Eligiendo como sistema el aire:
∆U + ∆ECinetica

=0

+ ∆EPotencial =0 = Wneto + Qneto

mCV ( T3 − T1 ) = Wneto + Qneto
Pero:
m=

P3 ⋅ V3 800 ⋅ 3.87 × 10−4
=
= 0.0091( kg)
RT3
0.287 ⋅ 1173

Desde el punto de vista del gas Wgas = −0.105 ( kJ) , luego:
Qneto = mC V ( T3 − T1 ) − Wneto = 0.00091⋅ (1 − 0.287 ) ⋅ (1173 − 300) − ( −0.105 ) = 0.671( kJ)

Problema 2 (35 puntos)
En la producción de agua caliente a 71 °C, se utiliza un intercambiador de calor donde
se alimenta agua a 2 bar y 20 °C. Para calentar el agua (CP = 4.19 kJ/kgK) se disponen
de 1300 m3/min de aire (CP = 4.19 kJ/kgK, M = 29) a 127 °C y 2.6 bar provenientes de la
descarga de un compresor y que entran al intercambiador a través de una cañería de...