20131MAT023S9 Formulario EDO 1

UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
CAMPUS SANTIAGO

FORMULARIO
EDO’s de primer orden
1. Variables Separables:
Son ecuaciones de la forma M (x, y)dx+N (x, y)dy = 0,g(x)dx = h(y)dy. Se resuelve integrando.

y se pueden llevar a la forma

2. Homogéneas:
Son ecuaciones de la forma M (x, y)dx+N (x, y)dy = 0, en que las funciones M (x, y)
y N (x, y) son homogéneas delmismo grado. Se hace el cambio de variables y = ux,
de donde dy = xdu + udx que lleva la ecuación a una de variables separables.
3. Reducibles a homogéneas:
ax + by + c
.
Son de la forma y = f
a1 x +b1 y + c1

Para resolverla:

a) Si el sistema ax+by +c = 0,
a1 x+b1 y +c1 = 0 tiene solución única (x0 , y0 ),
se hace el cambio de variable X = x − x0 , Y = y − y0 . La ecuación se reduce
a unahomogénea.
b) Si el sistema no tiene solución única, se hace el cambio de variables z = ax + by.
La ecuación obtenida es de variables separables.
4. Exactas:
∂M
∂N
=
.
Se
∂y
∂x
busca una función F (x, y)tal que dF = M dx + N dy, y la solución está dada en forma
implícita F (x, y) = C, donde C es una constante.
Son ecuaciones de la forma

M (x, y)dx+N (x, y)dy = 0,

en que

5. Factor integranteEcuaciones de la forma M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, que al multiplicar por un factor
µ(x, y) se transforman en exactas.
1 ∂N
∂M
−
dy
∂y
Si µ = µ(y), entonces µ(y) = e M ∂x
Si µ = µ(x), entonces µ(x) = e

1N

∂M
∂N
−
∂y
∂x

dx

6. Lineales de Primer Orden:
Son ecuaciones de la forma y + p(x)y = q(x).
y(x) = e−

p(x)dx

q(x)e

Su solución está dada por:
p(x)dx

dx + C

7. Ecuación de Bernoulli:
Es de laforma

y + p(x)y = q(x)y n .

Se hace la sustitución: u = y 1−n ,

transformándose en

1 du
+ p(x)u = q(x)
1 − n dx

8. Ecuación de Riccatti:
Es de la forma

y (x) + a2 (x)y 2 + a1 (x)y + a0 (x) = 0.Para resolverla, se debe conocer
1
una solución particular y1 (x), y se hace la sustitución: y =
+ y1 , obteniéndose:
u
du
− 2y1 (x)a2 (x) + a1 (x) u(x) = a2 (x)
dx

EDO’s de orden superior
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