3 Solucionario Taller_5_MA262_Calculo_1_2015 1

CÁLCULO 1 (MA262)
Taller Nº 05
Ciclo 2015-1
Profesores del taller

: Alejandro Flores, José Linares, Mike Hurtado, Reynaldo Egocheaga y
Carlos Quispe
Coordinador del curso : Jesús Acosta Neyra
Temas
: Extremos de Funciones, Teorema del Valor Medio, Regla de L’Hospital y
Análisis de funciones.

1. Determine si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). Justifique sus respuestas.
a) Si f (c)  0, entonces la función tiene un máximo o mínimo en f (c) .
b) Si f ´(c) no existe entonces x  c es un número crítico.
c) Si f (1)  0 , entonces (1, f (1)) es un punto de inflexión de la curva y  f ( x) .
Resolución
a) Falso
Considerando la función f ( x)  x3 se tiene que f ´(0)  0 más no existe mínimo ni máximo en f (0) .
b) Falso
Para que x  c sea un número crítico no basta que no existaf ´(c) sino que además c debe pertenecer
al dominio de f .
c) Falso
Sea la función f ( x)  ( x  1) 4 , entonces se tiene que f (1)  0 sin embargo la función no tiene punto
de inflexión (Gráficamente es una parábola).
2. Determine los extremos absolutos de las siguientes funciones
a) f ( x)  x3  9x  5;

x 3;3

Resolución
Derivando la función obtenemos

f ( x)  3x 2  9  3  x 2  3Determinemos los números críticos: f  ( x)  0  3  x 2  3  0
Evaluando los números críticos en f obtenemos
f ( 3)  ( 3)3  9( 3)  5  5  6 3

f ( 3)  ( 3)3  9( 3)  5  5  6 3
Los valores de f en los extremos del intervalo son
x  3  f (3)  (3)3  9(3)  5  49
x3 

f (3)  (3)3  9(3)  5

5

Al comparar los números: 5  6 3; 5  6 3;  49; 5 tenemos:
El valor máximoabsoluto es f ( 3)  5  6 3
El valor mínimo absoluto es f (3)  49

 x   3, x  3

b) f ( x)  x2  6x  10; x -1;5
Resolución
f ( x) 

Derivando la función obtenemos:

x3

x  6 x  10
x3
Determinemos los números críticos: f ( x)  0 
0
2
x  6 x  10
2

Evaluando el número crítico en f obtenemos que f (3) 

 3

2

x 3

 6  3  10  1

Los valores de f en los extremos delintervalo son

 1

x  1  f (1) 

 5

x  5  f (5) 

2

2

 6  1  10  5

 6  5   10  65

Al comparar los números 1; 5; 65 tenemos
El valor máximo absoluto es f (5)  65
El valor mínimo absoluto es f (3)  1

2x
; x  -2;2
x 1
Resolución
c) f ( x) 

2

Derivamos la función f ( x) 

2  x  1 x  1

x

2

 1

2

Determinemos los números críticos: f ( x)  0 

2 x  1 x  1

Evaluando los números críticos en f
2(1)
f (1)  2
1
1  1
f (1) 

2(1)

 1

2

1

 1

Los valores de f en los extremos del intervalo son
2(2)
4
x  2  f (2) 
   0,8
2
 2   1 5
x  2  f (2) 

2(2)

 2

2

1



4
 0,8
5

Al comparar los números 1;  1;  0,8;0,8 tenemos
El valor máximo absoluto es f (1)  1
El valor mínimo absoluto es f (1)  1x

2

 1

2

0

 x  1; x  1

3. Aplicar el T.V.M a las funciones dadas en el intervalo indicado y determine los valores de c que
satisfacen su condición.
a) f ( x)  x 2  x3 , x [2,1]
Resolución
Siendo f un polinomio entonces es continua en [2,1] y derivable en 2;1 .
Evaluamos en los extremos obteniendo que f  2   12,
Si f  x   x  x  f ´( x)  2 x  3x
2

3

f 1  0 .

2Aplicando el T.V.M. para c  2;1 tenemos que:

f 1  f  2   f   c 1  (2)  ,

 0  12   2c  3c 2   3
 0  3c 2  2c  4

 c  0,87  c  1,54
c  0,87  2;1  c  1,54  2;1
Por lo tanto, el valor de c que verifica el T.V.M es 0,87 .

x 2  3x  4
, x [1,4]
x5
Resolución
Siendo f una función continua en [1,4] y derivable en 1;4

b) f ( x) 

entonces evaluamos losextremos en f obteniendo: f  1  0 ,
Derivando f tenemos: f ´ x  

x 2  10 x  11
( x  5) 2

Aplicando el T.V.M. para c  1;4 tenemos que:
f  4   f  1  f   c   4   1  ,
 c 2  10c  11 
00
  4
2
 (c  5)

2
 0  c  10c  11
 c  1  c  11

c  11 1;4  c  1 1;4
Por lo tanto, el valor de c que verifica el T.V.M es 1 .

4. Determine los siguientes...