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Tercer parcial
cálculo y geometría
analítica

3.2. Geometría del espacio
• Punto
en el espacio: P(x,y,z)
 
• Rectas: Distancia entre dos puntos en
el espacio:

• Cosenos directores de una recta enel
espacio
o Teorema: Los cosenos directores de la recta determinada
por los dos puntos P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2.z2) y dirigida de P1
a P2 son:

o ;;
o siendo d la distancia entre P1 y P2.
o Teorema: Lasuma de los cuadrados de los cosenos
directores de cualquier recta es igual a la unidad.

o

 

• Números directores de la Otra
rectaforma
en elde calcularlos dados
P1 y P 2
espacio

espacio
• Lageneral de la ecuación del plano es
• Ax+By+Cz+D=0
• donde A, B,C y D son constantes
• Ejemplo 1: Hallar la ecuación
del plano que pasa por el
punto P1(-2,-1,5) y es
perpendicular a la recta L
que pasapor los puntos
P2(2,-1,2) y P3(-3,1,-2).
• Ejemplo 2: Hallar la ecuación
del plano que pasa por los
tres puntos no colineales
P1(2,-1,1), P2(-2,1,3) y P3(3,2,2)

Plano: intersecciones y trazas
•Punto de intersección entre un plano y un eje
coordenado:
o P/e en la intersección con el eje x,

z=y=0

• La traza: curva de intersección de la superficie y
del plano coordenado.
• Ejemplo 3: La ecuaciónde un
plano es:
• 4x+6y+3z-12=0
• Hallar sus intercecciones y trazas.
Intersecciones: (3,0,0), (0,2,0), (0,0,4)
Trazas:
2x+3y-6=0; z=0
4x+3z-12=0; y=0
2y+z-4=0; x=0

Otras formas de la ecuación delplano
•  Forma simétrica

•
• donde a, b y c tienen
relación con la
intersección con los
ejes (a,0,0), (0,b,0) y
(0,0,c)

• Forma matricial
• Considerar 3 puntos
no colineales
contenidos en el plano
• P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2)
y P3((x3,y3,z3):

 

Posiciones relativas de dos
planos
Ángulo formado por dos
planos:

•  

 

• Si dos planos son paralelos se cumple:
• A=kA´, B=kB´, C=kC´
• Si dosplanos son perpendiculares se cumple:
• AA´+ BB´+ CC´=0

• Si dos planos son coincidentes se cumple:
• A=kA´, B=kB´, C=kC´ y D=kD´ (k≠0)

Posiciones relativas de dos
planos
Planos paralelos a los...