41621420e Tasca Aval2 Càlcul AAVV 2015

C`
alcul I
Tasca obligat`
oria 2
Unitat 2
Grau en Enginyeria de Sistemes Audivisuals
14 d’octubre de 2015
Alumne: Lluc Mart´ı Galm´es
DNI: 41621420
1. Considereu la funci´o
7
f(x, y) = − x3 + 3 x2 − 8 xy − 4 y 2 + 5 x
3
al domini [−7, 7] × [−7, 7].
(a) Calculeu la derivada direccional de f al punt (2, −1) en la direcci´o del vector (6, 2).
Determineuen quines direccions assoleix la derivada direccional de f en aquest punt
els seus valors m`axim i m´ınim.
(b) Representeu gr`aficament la funci´o al domini considerat, i lacorba
γ(t) = (2 + 6t, −1 + 2t, f (2 + 6t, −1 + 2t))
per a t ∈ (−0.5, 0.5).
(c) Calculeu les equacions del pla tangent a la funci´o f (x, y) al punt (2, −1) i de la recta
tangent ala corba γ(t) per a t = 0 i afegiu-les a la representaci´o gr`afica anterior.
(d) Determineu i classifiqueu els punts cr´ıtics de la funci´o f al domini considerat.
(e)Determineu els valors m`axim i m´ınim absoluts de la funci´o f al domini considerat.
(f) Calculeu l’aproximaci´o de Taylor de grau 2 al voltant del punt (2, −1) i afegiu-la a larepresentaci´o gr`afica.
(g) Representeu les corbes de nivell de la funci´o f i el seu gradient al domini considerat.
Etiqueteu acuradament les corresponents als punts cr´ıtics ivalors extrems considerats
anteriorment.
2. Considereu la funci´o f (x) = sinh(3x + 5)
(a) Doneu l’expressi´o del seu polinomi de Taylor de grau 4 al voltant del punt x0 = − 35 .(b) Doneu una estimaci´o de l’error com`es quan s’aproxima el valor de f (x) utilitzant aquest
5
5
polinomi a un punt de l’interval (x0 − 10
, x0 + 10
).
(c) Representeugr`aficament en els mateixos eixos la funci´o f (x) i els seus polinomis de
Taylor de graus menor o igual a 4 al voltant de x0 prenent com a domini l’interval
[x0 − 5, x0 + 5].