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Publicado: 5 de noviembre de 2014
Una vez definda la aplicación lineal tangente puede definirse la aplicación (diferencial) cotangente (o pullback) sobre 1-formas como:
Tensor métrico[editar]
Si la variedad diferenciabletiene estructura de variedad riemanniana o pseudoriemanniana entonces se pueden definir estructuras más complejas y enriquecer el conjunto de herramientas del cálculo tensorial sobre esa variedad.Un tensor métrico g es en esencia un tensor 2-covariante y simétrico definido sobre toda la variedad y no degenerado:
1.
2.
Derivada covariante[editar]
Artículo principal: Derivadacovariante
Puede probarse que una variedad riemanniana o pseudoriemanniana es localmente isométrica al espacio euclídeo si y sólo si su tensor de curvatura de Riemann se anula. Si la variedad tienecurvatura no nula puede demostrarse que la particularización de las derivadas direccionales de no tienen las propiedades de invariancia esperadas, en concreto la derivada no covariante de unvector tangente en general no resulta en un vector tangente también a la variedad, y por tanto, no da lugar a un objeto tensorial definible sobre la variedad.
Para resolver esos problemas se defineuna conexión que permita relacionar el espacio tangente en puntos diferentes de la variedad (a diferencia del caso euclídeo si la variedad es curva la orientación del espacio tangente, consideradocomo subconjunto de , variará de un punto a otro.
Derivada de Lie[editar]
Derivación exterior[editar]
Dada una n-forma (tensor n-covariante totalmente antisimétrico):
La diferenciaciónexterior es una aplicación en el álgebra graduada de n-formas que opera según:
De forma que la diferenciación exterior es una combinación lineal de n+1 derivadas parciales de las componentes dela n-forma original. Es interesante notar que la diferenciación exterior generaliza las operaciones de gradiente,rotacional o divergencia, así cuando se considera el cálculo tensorial sobre :
Tensor métrico[editar]
Si la variedad diferenciabletiene estructura de variedad riemanniana o pseudoriemanniana entonces se pueden definir estructuras más complejas y enriquecer el conjunto de herramientas del cálculo tensorial sobre esa variedad.Un tensor métrico g es en esencia un tensor 2-covariante y simétrico definido sobre toda la variedad y no degenerado:
1.
2.
Derivada covariante[editar]
Artículo principal: Derivadacovariante
Puede probarse que una variedad riemanniana o pseudoriemanniana es localmente isométrica al espacio euclídeo si y sólo si su tensor de curvatura de Riemann se anula. Si la variedad tienecurvatura no nula puede demostrarse que la particularización de las derivadas direccionales de no tienen las propiedades de invariancia esperadas, en concreto la derivada no covariante de unvector tangente en general no resulta en un vector tangente también a la variedad, y por tanto, no da lugar a un objeto tensorial definible sobre la variedad.
Para resolver esos problemas se defineuna conexión que permita relacionar el espacio tangente en puntos diferentes de la variedad (a diferencia del caso euclídeo si la variedad es curva la orientación del espacio tangente, consideradocomo subconjunto de , variará de un punto a otro.
Derivada de Lie[editar]
Derivación exterior[editar]
Dada una n-forma (tensor n-covariante totalmente antisimétrico):
La diferenciaciónexterior es una aplicación en el álgebra graduada de n-formas que opera según:
De forma que la diferenciación exterior es una combinación lineal de n+1 derivadas parciales de las componentes dela n-forma original. Es interesante notar que la diferenciación exterior generaliza las operaciones de gradiente,rotacional o divergencia, así cuando se considera el cálculo tensorial sobre :
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