5 1_ 4_Cambio_de_orden_13 B

Lucia González Rendón

Cambio de orden de integración

107

CAMBIO DE ORDEN DE INTEGRACIÓN

Para invertir el orden de integración de una integral dada, es necesario dibujar la región de integración apartir de
la información que dan los límites de integración.
Ejemplo 1.

Dibujar la región R de integración y cambiar el orden de integración en la integral
2


0

2x
x2

dy dx

Solución. La regiónde integración que debemos dibujar, está dada por los límites de la integral iterada, esto es
x 2  y  2x

0 x  2

Por tanto, la región está acotada por las gráficas de y  x 2 y y  2 x entre x 0 y x  2 .
Trazamos la gráfica por duplicado, una para el orden dy dx y la otra para cambiar al orden dx dy .
Para encontrar los límites de integración en el orden dx dy , despejamos x en las 2ecuaciones y trazamos un
rectángulo horizontal (o una flecha horizontal) que vaya de la gráfica de la izquierda a la gráfica de la derecha,
es decir 12 y  x  y .
La región encerrada por estas dosgráficas (de izquierda a derecha), empieza abajo en y  0 y termina arriba en
y  4 , o bien, 0  y  4 .
4

Por tanto la integral en el orden dx dy es

 
0

y
1 y
2

dx dy

( 2, 4 )

( 2, 4 )

y  2x

x1
2

y

x

y  x2

Δx

Orden dy dx
x  y  2x
2

0 x  2
2

 
0

2x
x2

dy dx

Δy

Orden dx dy

y  x 

1
2

y

0 y  4
4

 
0

y
1 y
2

dx dy

y

Lucia González Rendón

Cambio de orden deintegración

Ejercicios: Cambio de orden de integración.

Cambiar el orden de integración en las integrales dadas

①

4

 
0

②

y

dx dy

0

4

2

 

dx dy

0

③
④
⑤

⑥

 
2

3 y

0

y

 

⑩dx dy

2

5

Ln y

 

dx dy

1

0

1

ex

 
2

dy dx

1



2y

dx dy 

0

 

y
1 y
2

1

x2

2

x2

 
1

 
0

6


2

2

0

⑨

f ( x, y ) dy dx

0

1

0

⑧

4 x 2

2

0

⑦

y

dx dy

dx dy

0
4

 
2

dy dx

1 x2
1 x

6 y

dy dx

2
1 y
2

dx dy

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Cambio de orden de integración

Gráficas y respuestas de los Ejercicios de Cambio de orden de...