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INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y APLICADAS
JEFATURA DE CIENCIAS BÁSICAS
Clase 2. Matemáticas Básicas. Lógica.
1. La condicional.
En la condicional
, la proposición se denomina hipótesis, antecedente, premisa o
condición suficiente y la proposición tesis, consecuente, conclusión o condición necesaria.
Otras formulaciones equivalentes de la condicional
son: “ sólosi ”, “ si ”, “ es una
condición suficiente para ”, “ es una condición necesaria para ”, “ es una consecuencia lógica
de ”, “ cuando ”.
Por ejemplo, la proposición “Si los resultados se dirigen a la impresora, entonces la salida no va a
la pantalla” es equivalente a:
“los resultados se dirigen a la impresora solo si la salida no va a la pantalla”
“la salida no va a la pantalla si los resultados sedirigen a la impresora”
“los resultados se dirigen a la impresora es una condición suficiente para que la salida no vaya a la
pantalla”
“la salida no va a la pantalla cuando los resultados se dirigen a la impresora”
Proposición Recíproca.
Definición. La proposición

se denomina la recíproca de la proposición condicional

.

Por ejemplo, la recíproca de “Si estudio mucho, entonces apruebo elcurso” es “Si apruebo el
curso, entonces estudio mucho”
Proposición Contrarrecíproca.
Definición. La proposición
condicional
.

se denomina la contrarrecíproca de la proposición

Por ejemplo, la contrarrecíproca de “Si estudio mucho, entonces apruebo el curso” es “Si no
apruebo el curso, entonces no estudio mucho”
Ejemplo. Determine las condiciones suficiente y necesaria de las siguientes condicionales yescriba
su recíproca y su contrarrecíproca:
a)
b)
c)
d)

No voy cuando llueve
Me quedaré, sólo si tú te vas
Puedes comprar un helado cuando tengas 500 pesos
No puedo completar la respuesta si no me ayudas

2. La bicondicional.
La bicondicional “ si y sólo si ” se interpreta como “ sólo si y si ” o lo que es igual “si ,
) (
).
entonces y si , entones ”. Por lo tanto, escribir
es igual a escribir(
Dado que la condicional
se enuncia “una condición necesaria para es ” y la condicional
se enuncia “una condición suficiente para es ”, un enunciado equivalente para la
bicondicional es “una condición necesaria y suficiente para es ”.
La interpretación de la bicondicional indica que, probar que
es verdadera es igual a probar
que
y
son verdaderas. Es decir, para probar que una bicondicional esverdadera debe
probarse que tanto la condición suficiente como la necesaria son verdaderas.
Ejemplo. Sean
proposición

y las longitudes de los lados de un triángulo

siendo el lado mayor. La

es un triángulo rectángulo si y sólo si
que se expresa simbólicamente como
rectángulo” y la proposición “

,

, donde es la proposición “ es un triángulo
”, afirma dos cosas:

1. Si es un triángulo rectángulo,entonces
o lo que es equivalente, una
condición necesaria para que sea rectángulo es que
.
2. Si
, entonces es un triángulo rectángulo o lo que es equivalente, una
condición suficiente para que sea rectángulo es que
.
Por tanto, una forma equivalente de formular la proposición dada es
Una condición suficiente y necesaria para que

sea rectángulo es que

.

3. Implicación Lógica.
Definición. Se diceque la proposición implica lógicamente la proposición , y se escribe
si es verdadera cuando es verdadera.
Esto es equivalente a decir que “
es falso si es falso cuando
verdadera siendo falso, esta definición no se cumpliría.

es falso”, ya que si

,

es

El hecho de que implique a significa que, se cumple siempre que se cumpla. Por eso se dice
que es una condición suficiente para . Por otro lado,también implica que, sí no se cumple,
tampoco lo hace. Por eso se dice que es una condición necesaria para ( es necesaria pero no
suficiente para ya que, puede ser verdadera cuando es falsa).
El siguiente resultado permite determinar cuándo una proposición implica a otra.
Teorema. La proposición
tautología. Esto es,

implica lógicamente la proposición
(

)

(

si y sólo si

es una

)...