7 Aproximacion De Funciones

Métodos Numéricos
Aproximación de Funciones

APROXIMACION DE FUNCIONES
• En este capítulo se estudiará la aproximación de funciones
disponibles en forma discreta (puntos tabulados), con
funciones analíticas sencillas, o bien de aproximación de
funciones cuya complicada naturaleza exija su reemplazo
por funciones más simples, específicamente por
polinomios.
• Una vez que se ha determinado unpolinomio Pn(x) de
manera que aproxime satisfactoriamente una función
dada f(x) sobre un intervalo de interés, puede esperarse
que al diferenciar Pn(x) o integrarla, también aproxime la
derivada o integral correspondiente a f(x).

Aproximación polinómica
Se realiza cuando la función puede ser conocida en forma
explícita o mediante un conjunto de valores tabulados para
cada uno de los argumentos pordonde pasa la función
(valores funcionales).
xi

x0

x1

...

xn

f(xi)

F0

f1

...

fn

Normalmente se acepta aproximar a la función tabulada en
puntos coincidentes mediante un polinomio de grado “n”
(condición de aproximación):
f(xi)  Pn(xi) ; para todo xi en [xo,xn]
Donde: Pn(x) = anxn + an-1xn-1+...+a1x+ao, con an0

Aproximación polinómica

Aproximación polinómica
Donde: E(x) = f(x) –Pn(x) ; Para todo x en [x0,xn]
Observaciones:
1) Los polinomios son funciones fáciles de derivar, integrar,
evaluar y de programar en un computador. Véase :  
 
 
2) Los polinomios presentan propiedades analíticas
importantes que facilitan el cálculo de las raíces del
polinomio, así mismo nos permite identificar el tipo de raíz
(Real ó complejo).

Cálculos Analíticos

•
•
•
•

Interpolación :f(x)Pn(x), x en [xo, xn]
Extrapolación : f(x)Pn(x), xxn
Diferenciación : f’(x)  P’n(x)
Integración : b f ( x)dx  b P ( x)dx


a


a

n

Cálculo de Polinomio Interpolante
Pn  x  a0 x n  a1 x n  1  a2 x n  2    an  1 x  an
f  xi  Pn  xi 

para i 0  n

Sistema de Ecuaciones Lineales
de Vandermond e
 x0n
 n
 x1
 x2n


 xn
 n

x0n  1  x0 1  a0   y0 
   
n1
x1
 x1 1  a1   y1 
x2n  1  x2 1  a2   y2 
   

        
xnn  1  xn 1  an   yn 

Este procedimiento en la practica no es muy usual debido a que la matriz
de Vandermonde es mal condicionada.

Propiedades de Aproximación
1) Siempre que se acepte aproximar la función f(x)
mediante un polinomio de grado n: Pn(x) que pase
por (n+1) puntos coincidentes, sepuede construir
un polinomio que es único (propiedad de existencia
y unicidad).
2) El error de aproximación viene dado por:
f ( n 1) ( )
En  f ( x)  Pn ( x) 
( x  x0 )( x  x1 )...( x  xn )
(n  1)!
Para a lg ún    x0 , xn  ; x  [ x0 , xn ]

3) Cota superior de error (M):
En ( x)  f ( x)  Pn ( x) 



M
( x  x0 )( x  x1 )  ( x  xn )
(n  1)!

Donde : M máx f ( n1) ( x)



para x [ x0 , xn ]

INTERPOLACIÓN NUMÉRICA

• Consiste en estimar el valor de la función f(x) para
cualquier argumento x, conociendo la función de manera
explícita o mediante un conjunto de valores tabulados (xi,
f(xi)).
Herramientas de Interpolación
• A continuación definiremos algunas herramientas que nos
permitirán más adelante construir un polinomio de
interpolación:
– Diferencias Finitas
–Diferencias Divididas

Diferencia Finita hacia adelante o progresiva

• Diferencia finita de primer orden:

f k  f k 1  f k

• Diferencia finita de segundo orden:
2
 f k f k 1  f k
• Diferencia Finita de orden n:
n f k n 1 f k 1  n 1 f k

Tabla de diferencias finitas hacia adelante (h=constante)

Diferencia finita hacia atrás o regresiva:
n

n 1

 f k 

n 1

fk  

fk 1Diferencia Finita Central:
n

 f k 

n 1

f k 1/ 2  

n 1

f k  1/ 2

Diferencias Divididas
Se define para puntos o argumentos
desigualmente espaciados:
• Diferencia dividida de Primer orden:
f ( xi 1 )  f ( xi )
f [ xi , xi 1 ] 
xi 1  xi

• Diferencia dividida de segundo orden:
f [ xi , xi 1 , xi  2 ] 

f [ xi 1 , xi  2 ]  f [ xi , xi 1 ]
xi  2  xi

• Diferencia dividida...

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